Ley de Hardy-Weinberg

Considerar una frecuencia de extra alelo, ${\displaystyle r}$. El caso de dos alelos es la expansión binomial de ${\displaystyle (p+q)^{2}}$, y así el caso de tres alelos es la expresión trinómica de ${\displaystyle (p+q+r)^{2}}$.

${\displaystyle (p+q+r)^{2}=p^{2}+r^{2}+q^{2}+2pq+2pr+2qr}$

Más generalmente, considerar los alelos A₁, ... A_n dado por la frecuencia de los alelos ${\displaystyle p_{1}}$ a ${\displaystyle p_{n}}$;

${\displaystyle (p_{1}+\cdots +p_{n})^{2}}$

dado por todos los homozigotos:

${\displaystyle f(A_{i}A_{i})=p_{i}^{2}}$

y para todos los heterozigotos:

${\displaystyle f(A_{i}A_{j})=2p_{i}p_{j}}$

El principio de Hardy-Weinberg también se puede generalizar para sistemas poliploides, esto es, organismos que tienen más de dos copias de cada cromosoma. Considérese de nuevo solo dos alelos. El caso diploide es la expansión binomial de:

${\displaystyle (p+q)^{2}}$

y por tanto el caso poliploide es la expansión binomial de:

${\displaystyle (p+q)^{c}}$

donde c es la ploidía. Por ejemplo, con un tetraploide (c = 4):

Tabla 2: Frecuencias genotípicas esperadas para la tetraploidía

Genotipo	Frecuencia
${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {A} \mathbf {A} \mathbf {A} }$	${\displaystyle p^{4}}$
${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {A} \mathbf {A} \mathbf {a} }$	${\displaystyle 4p^{3}q}$
${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {A} \mathbf {a} \mathbf {a} }$	${\displaystyle 6p^{2}q^{2}}$
${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {a} \mathbf {a} \mathbf {a} }$	${\displaystyle 4pq^{3}}$
${\displaystyle \mathbf {a} \mathbf {a} \mathbf {a} \mathbf {a} }$	${\displaystyle q^{4}}$

Dependiendo de si el organismo es un tetraploide 'verdadero' o un anfidiploide quedará determinado el tiempo necesario para que la población alcance el equilibrio de Hardy-Weinberg.

La fórmula completamente generalizada es la expansión multinomial de ${\displaystyle (p_{1}+\cdots +p_{n})^{c}}$:

${\displaystyle (p_{1}+\cdots +p_{n})^{n}=\sum _{k_{1},\ldots ,k_{n}\,:\,k_{1}+\cdots +k_{n}=n}{n \choose k_{1},\ldots ,k_{n}}p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{n}^{k_{n}}}$

Supóngase que los fenotipos de AA y Aa son indistinguibles, es decir, existe una dominancia completa. Suponiendo que el principio de Hardy-Weinberg se aplica a la población, entonces todavía se puede calcular ${\displaystyle q}$ a partir de f(aa):

${\displaystyle q={\sqrt {f(aa)}}}$

y ${\displaystyle p}$ se puede calcular a partir de ${\displaystyle q}$. Y también una estimación de f(A) y f(Aa) derivadas de ${\displaystyle p^{2}}$ y ${\displaystyle 2pq}$ respectivamente. Sin embargo, hay que tener en cuenta que no se puede comprobar el equilibrio de una población utilizando los tests de significancia siguientes, porque esta se asume a priori.

Estos datos son de E.B. Ford (1971) sobre la polilla Callimorpha dominula, de la que se registraron los fenotipos de una muestra de la población. La distinción entre el genotipo y el fenotipo se considera insignificante. La hipótesis nula es que la población tiene proporciones de Hardy-Weinberg, y la hipótesis alternativa es que la población no tiene proporciones de Hardy-Weinberg.

De la que se pueden calcular las frecuencias alélicas:

${\displaystyle p}$

${\displaystyle ={2\times \mathrm {obs} (AA)+\mathrm {obs} (Aa) \over 2\times (\mathrm {obs} (AA)+\mathrm {obs} (Aa)+\mathrm {obs} (aa))}={1469\times 2+138 \over 2\times (1469+138+5)}={3076 \over 3224}=0,954}$

y

${\displaystyle q}$

${\displaystyle =1-p=1-0.954=0,046}$

Por lo que los valores esperados de Hardy-Weinberg son:

${\displaystyle \mathrm {Esp} (AA)=p^{2}n=0,954^{2}\times 1612=1467,4}$

${\displaystyle \mathrm {Esp} (Aa)=2pqn=2\times 0,954\times 0,046\times 1612=141,2}$

${\displaystyle \mathrm {Esp} (aa)=q^{2}n=0,046^{2}\times 1612\leq 3,4}$

La prueba χ² de Pearson establece que:

${\displaystyle \chi ^{2}}$	${\displaystyle =\sum {(O-E)^{2} \over E}}$
	${\displaystyle ={(1469-1467,4)^{2} \over 1467,4}+{(138-141,2)^{2} \over 141,2}+{(5-3,4)^{2} \over 3,4}}$
	${\displaystyle =0,001+0,073+0,756}$
	${\displaystyle =0,83}$

Hay 1 grado de libertad (los grados de libertad para el test de las proporciones de Hardy-Weinberg son número de fenotipos - número de alelos). El nivel de significancia para 1 grado de libertad es 3,84, y como este valor de χ² es menor, se acepta la hipótesis nula que decía que la población tiene proporciones de Hardy-Weinberg.

La prueba exacta de Fisher se puede aplicar para comprobar si existen proporciones de Hardy-Weinberg. Como la prueba está condicionado por las frecuencias alélicas, p y q, el problema se puede entender como la comprobación del número adecuado de heterocigotos. De esta forma, la hipótesis de las proporciones de Hardy-Weinberg queda violada si el número de heterocigotos es muy grande o muy pequeño. Las probabilidades condicionadas para el heterocigoto, dadas las frecuencias alélicas, las proporciona Emigh (1980) de la forma

${\displaystyle prob[n_{12}|n_{1}]={\frac {{n} \choose {n_{11},n_{12},n_{22}}}{{2n} \choose {n_{1}}}}2^{n_{12}},}$

donde n₁₁, n₁₂ y n₂₂ son los números observados para los tres genotipos, AA, Aa y aa respectivamente, y n₁ es el número de alelos A, donde ${\displaystyle n_{1}=2n_{11}+n_{12}}$.

Un ejemplo Utilizando uno de los ejemplos de Emigh (1980), se puede considerar el caso en el que n = 100 y p = 0,34. En la tabla 4 se muestran los heterocigotos observados posibles y su nivel de significancia exacto.

Utilizando esta tabla, se busca el nivel de significancia de la prueba basándose en el número observado de heterocigotos. Por ejemplo, si se han observado 20 heterocigotos, el nivel de significancia de la prueba es 0,007. El gradiente de niveles de significancia es bastante basto, como es normal en la prueba exacta de Fisher con muestras pequeñas.

Desafortunadamente, es necesario crear una tabla así para cada experimento, ya que las tablas dependen tanto de n como de p.

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• Crow, J.F. (1999). Hardy, Weinberg and language impediments. Genetics 152: 821-825. enlace
• Emigh, T.H. (1980). A comparison of tests for Hardy-Weinberg equilibrium. Biometrics 36: 627 – 642.
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