Probabilidad a posteriori

Teniendo la creencia a priori de que la función de distribución de probabilidad es ${\displaystyle p(\theta )}$ y de que una observación ${\displaystyle X}$ con la verosimilitud ${\displaystyle p(X|\theta )}$, la probabilidad condicional inversa es definida como ${\displaystyle p(\theta |X)}$ ${\displaystyle \propto }$ ${\displaystyle p(\theta )p(X|\theta )}$.

Supóngase un colegio mixto donde el 60% de los estudiantes son chicos y el 40% son chicas. Las chicas llevan pantalón o falda en probabilidades iguales; los chicos siempre llevan pantalones. Un observador ve desde lejos a un estudiante aleatorio; lo único que puede distinguir el observador es que el o la estudiante lleva pantalones. ¿Cuál es la probabilidad de que sea una chica? La respuesta correcta se puede hallar usando el Teorema de Bayes.

El evento A es que el estudiante observado sea una chica, mientras que el evento B es que el estudiante observado lleva pantalones. Para hallar P(A|B), primero necesitamos saber:

• P(A), o la probabilidad de que el estudiante sea una chica a pesar de cualquier otra información. Ya que el observador ve un estudiante aleatorio, y dado que todos los estudiantes tienen la misma probabilidad de ser observados, y el porcentaje de chicas entre los estudiantes es el 40%, esta probabilidad es 0,4.
• P(A'), o la probabilidad de que el estudiante observado sea un chico a pesar de cualquier otra información (A' es el complementario del evento A). Esto es el 60%, o 0,6.
• P(B|A), o la probabilidad de que el estudiante lleve pantalones siendo una chica. Como tienen la misma probabilidad de llevar falda o pantalones, esto es 0,5.
• P(B|A'), o la probabilidad de que el estudiante lleve pantalones siendo un chico. Esto es 1.
• P(B), o la probabilidad de que un estudiante (aleatorio) lleve pantalones. Dado que P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|A')P(A'), esto es 0,5×0,4 + 1×0,6 = 0,8.

Dados todos estos datos, la probabilidad de que el observador haya visto a una chica habiendo observado que lleva pantalones puede ser calculada sustituyendo estos valores en la fórmula:

${\displaystyle P(A|B)={\frac {P(B|A)P(A)}{P(B)}}={\frac {0,5\times 0,4}{0,8}}=0,25.}$

• Epistemología bayesiana