Punto singular de una variedad algebraica

Una curva plana definida por una ecuación implícita

F(x, y) = 0 ,

donde F es una función suave (diferenciable), se dice que es singular en un punto si la serie Taylor de F tiene un orden de al menos 2 en este punto.

La razón de esto es que, en el cálculo diferencial, la tangente en el punto (x₀, y₀) de dicha curva está definida por la ecuación

${\displaystyle (x-x_{0})F'_{x}(x_{0},y_{0})+(y-y_{0})F'_{y}(x_{0},y_{0})=0,}$

cuyo lado izquierdo es el término de grado uno de la expansión de Taylor. Por lo tanto, si este término es cero, es posible que la tangente no se defina de la manera estándar, ya sea porque no existe o se deba proporcionar una definición especial.

En general para una hiperesuperficie

F(x, y, z, ...) = 0

los puntos singulares son aquellos en los que todas las derivadas parciales se anulan simultáneamente. Para una variedad algebraica general V definida como los ceros comunes de varios polinomios, la condición en un punto P de V para ser un punto singular es que la matriz jacobiana de las derivadas parciales de primer orden de los polinomios tiene un rango en P menor que el rango en otros puntos de la variedad.

Los puntos de V que no son singulares se denominan no singulares o regulares. Siempre es cierto que casi todos los puntos son no singulares, en el sentido de que los puntos no singulares forman un conjunto abierto y denso en la variedad (para la topología de Zariski, así como para la topología habitual, en el caso de variedades definidas sobre los números complejos).[2]

En el caso de una variedad real (es decir, el conjunto de puntos con coordenadas reales de una variedad definida por polinomios con coeficientes reales), la variedad es múltiple cerca de cada punto regular. Pero es importante tener en cuenta que una variedad real puede ser múltiple y tener puntos singulares. Por ejemplo la ecuación ${\displaystyle y^{3}+2x^{2}y-x^{4}=0}$ define una variedad analítica real pero tiene un punto singular en el origen.[3] Esto puede explicarse diciendo que la curva tiene dos ramas conjugadas complejas que cortan la rama real en el origen.

Como la noción de puntos singulares es una propiedad puramente local, la definición anterior se puede extender para cubrir la clase más amplia de aplicaciones suaves (funciones de M a Rⁿ donde existen todas las derivadas). El análisis de estos puntos singulares puede reducirse al caso de la variedad algebraica considerando los flujos de la aplicación. El k-ésimo flujo es la serie Taylor de la aplicación truncada en grado k y eliminando el término constante.

En geometría algebraica clásica, ciertos puntos singulares especiales también se llamaban nodos. Un nodo es un punto singular donde la matriz hessiana es no singular. Esto implica que el punto singular tiene multiplicidad dos y el cono tangente no es singular fuera de su vértice.

• Punto singular de una curva
• Teoría de la singularidad
• Esquema suave
• Espacio tangente de Zariski
• Resolución de singularidades

• John Milnor (1969). Singular Points of Complex Hypersurfaces. Annals of Mathematics Studies 61. Princeton University Press. ISBN 0-691-08065-8.