Sistema de ecuaciones algebraicas

Los sistemas de 2 o 3 incógnitas reales admiten representaciones gráficas cuando las funciones ${\displaystyle F_{i}\,}$ en (1) son continuas a tramos. En cada ecuación se representa como una curva o una superficie curva. La existencia de soluciones en ese caso puede deducirse a partir de la existencia de intersecciones comunes a dichas curvas o superficies curvas. Los sistemas de 2 o 3 incógnitas reales admiten representaciones gráficas cuando las funciones ${\displaystyle {\displaystyle F_{i}\,}{\displaystyle F_{i}\,}}$ en (1) son continuas a tramos. En cada ecuación se representa como una curva o una superficie curva. La existencia de soluciones en ese caso puede deducirse a partir de la existencia de intersecciones comunes a dichas curvas o superficies curvas.

Un sistema de ecuaciones sobre ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ puede clasificarse de acuerdo con el número de soluciones o cardinal del conjunto de soluciones ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$, de acuerdo con este criterio un sistema puede ser:

• Sistema compatible cuando admite alguna solución que a su vez pueden dividirse en:
  • Sistemas compatibles determinados cuando admiten un conjunto finito de soluciones, o un conjunto infinito de soluciones aisladas sin puntos de acumulación, ${\displaystyle \#{\mathcal {S}}\leq \aleph _{0}}$.
  • Sistemas compatibles indeterminados cuando existe un número infinito de soluciones que forman una variedad continua, ${\displaystyle \#{\mathcal {S}}=\aleph _{1}}$.
• Sistema incompatible cuando no admite ninguna solución, ${\displaystyle {\mathcal {S}}=\varnothing }$.

Se llama sistema lineal si las ecuaciones que conforman el sistema son funciones afines. A diferencia del caso general, la solución de los sistemas de ecuaciones lineales son fáciles de encontrar cuando los coeficientes de las ecuaciones son números reales o complejos. También existen medios generales de resolución cuando los coeficientes pertenecen a un anillo, aunque la búsqueda de las soluciones en ese caso puede ser un poco más complicada.

Una característica importante de los sistemas lineales de ecuaciones es que admiten la llamada forma matricial. Esta forma permite representar el sistema usando tres matrices, de la siguiente forma:

(2)${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1Y}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2Y}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{X1}&a_{X2}&\cdots &a_{XY}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{Y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{X}\end{pmatrix}}}$

La primera es la matriz de coeficientes, donde el término ${\displaystyle a_{ij}\,}$ representa al coeficiente que acompaña a la j-ésima incógnita de la ecuación i-ésima. La segunda es la matriz de incógnitas, donde cada término se corresponde con una de las ${\displaystyle Y\,}$ incógnitas. La tercera matriz es la de términos independientes, donde el cada ${\displaystyle b_{i}\,}$ representa al término independiente de la ecuación i-ésima.

Esta representación matricial facilita el uso de algunos métodos de resolución, como el método de Gauss, en el que, partiendo de la matriz aumentada (matriz de coeficientes a la que se le ha acoplado la matriz de términos independientes), y aplicando transformaciones lineales sobre las ecuaciones, se pretende llegar a una matriz de este tipo:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&\cdots &0&b_{1}\\0&1&\cdots &0&b_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&b_{X}\end{pmatrix}}}$

Una vez que la matriz se ha triangulado, el valor de cada término ${\displaystyle b_{i}\,}$ se corresponderá con el de la incógnita ${\displaystyle x_{i}\,}$. Si queda alguna fila del tipo ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&0&b_{X}\\\end{pmatrix}}}$, con ${\displaystyle b_{X}\neq 0\,}$, el sistema no tendrá solución.

Ejemplos:

• Un sistema lineal incompatible es ${\displaystyle \{54x-36y=9,-54x+36y=30\}}$, ya que usando el método reducción y sumando miembro a miembro se obtiene la contradicción 0 = 39.
• Un ejemplo de sistema lineal compatible indeterminado es ${\displaystyle \{x+y=1,2x+2y=2\}}$ ya que claramente la segunda ecuación es linealmente dependiente de la primera, habiendo sido multiplicados todos los términos por 2.
• Un ejemplo de sistema lineal compatible determinado es ${\displaystyle \{2x+3y=9,3x-2y=7\}}$ cuya solución única es ${\displaystyle y=1}$ y ${\displaystyle x=3}$.

Los métodos analíticos se restringen casi exclusivamente a sistemas de ecuaciones lineales. Ni siquiera se conoce una solución analítica para el sistema de ecuaciones de segundo grado general:

${\displaystyle {\begin{matrix}a_{1,11}x_{1}^{2}+a_{1,12}x_{1}x_{2}+\dots +a_{1,nn}x_{n}^{2}+b_{1,1}x_{1}+\dots +b_{1,n}x_{n}+c_{1}=0\\a_{2,11}x_{1}^{2}+a_{2,12}x_{1}x_{2}+\dots +a_{2,nn}x_{n}^{2}+b_{2,1}x_{1}+\dots +b_{2,n}x_{n}+c_{2}=0\\\dots \\a_{n,11}x_{1}^{2}+a_{n,12}x_{1}x_{2}+\dots +a_{n,nn}x_{n}^{2}+b_{n,1}x_{1}+\dots +b_{n,n}x_{n}+c_{n}=0\end{matrix}}}$

Las aplicaciones técnicas generalmente recurren a algoritmos numéricos que permiten calcular aproximaciones numéricas a las soluciones de un sistema de ecuaciones.

Uno de los métodos numéricos que puede generalizarse a sistemas no lineales es el método de Newton-Raphson. En el caso multidimensional la resolución numérica del sistema de n ecuaciones ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {f} (x_{1},\dots ,x_{n})=0}$ puede hacerse a partir del conocimiento de una solución aproximada ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {x} ^{(0)}=(x_{1}^{(0)},\dots ,x_{n}^{(0)})}$, siempre y cuando la aplicación anterior sea diferenciable, mediante el esquema iterativo:

${\displaystyle \mathbf {x} ^{(m+1)}=\mathbf {x} ^{(m)}-[D\mathbf {f} (\mathbf {x} ^{(m)})]^{-1}(\mathbf {f} (\mathbf {x} ^{(m))}),\qquad \mathbf {f}$ :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n},\ \mathbf {f} \in C^{(1)}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} ^{n})}

O más explícitamente:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}^{(m+1)}\\\dots \\x_{n}^{(m+1)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{1}^{(m)}\\\dots \\x_{n}^{(m)}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}D_{1}f_{1}&\dots &D_{n}f_{1}\\\dots \\D_{1}f_{n}&\dots &D_{n}f_{n}\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}f_{1}(\mathbf {x} ^{(m)})\\\dots \\f_{n}(\mathbf {x} ^{(m)})\end{bmatrix}}}$

Lamentablemente la convergencia del esquema iterativo anterior no está garantizada y en casos de soluciones múltiples la convergencia puede darse hacia la solución no deseada.

Los métodos gráficos "no están bien", son didácticos e ilustrativos, aunque en general carecen de interés práctico en las aplicaciones técnicas de importancia. Además están restringidos generalmente a sistemas de dos o tres ecuaciones reales.Parecida a la de tres ecuaciones

Dos sistemas de ecuaciones con dos incógnitas de valor real, suelen aparecer como uno de los cinco tipos diferentes mencionados a continuación. Tienen una relación con el número de soluciones:

1. Aquellos sistemas de ecuaciones que representan gráficamente rectas y curvas que se intersecan entre sí. Este tipo de sistema de ecuación es considerado como el normal. Suele tener un número de soluciones finito cada uno formado por las coordenadas de los punto de intersección.
2. Sistemas que tienen simplificaciones falsas. Por ejemplo: 1 = 0. Gráficamente se representan como un conjunto de líneas que nunca se intersecan entre sí, como líneas paralelas.
3. Sistemas de ecuaciones en las que ambos simplificar a una identidad (por ejemplo, x = 2x - y o y - x = 0). Cualquier asignación de valores a las variables desconocidas satisface las ecuaciones. Por lo tanto, hay un número infinito de soluciones, que gráficamente, se representa como todos los puntos del plano que representa la solución.
4. Sistemas en los que las dos ecuaciones representan el mismo conjunto de puntos: son matemáticamente equivalentes (una ecuación general puede ser transformada en otra a través de la manipulación algebraica). Estos sistemas representan completamente la superposición de líneas o curvas, etc Una de las dos ecuaciones es redundante y puede ser desechada. Cada punto de la serie de puntos corresponde a una solución. Generalmente, esto significa que hay un número infinito de soluciones.
5. Sistemas en los que una (y sólo una) de las dos ecuaciones se simplifica a una identidad. Por lo tanto, es redundante y puede ser descartada, según el tipo anterior. Cada punto de la serie de puntos representados por los demás es una solución de la ecuación de los que hay a continuación, por lo general un número infinito.

La ecuación x² + y² = 0 puede ser pensada como la ecuación de un círculo cuyo radio se ha reducido a cero, por lo que representa un único punto: (x = 0, y = 0), a diferencia de una normal de un círculo que contiene infinito número de puntos. Este y otros casos similares muestran la razón por la cual los dos últimos tipos anteriormente descritos necesitan la calificación de "normalmente". Un ejemplo de un sistema de ecuaciones del primer tipo descrito anteriormente, con un número infinito de soluciones viene dada por x = | x |, y = | y | (donde la notación | • | indica el valor absoluto de la función), cuyas soluciones de forma un cuadrante de la x - y plano. Otro ejemplo es x = | y |, y = | x |, cuya solución representa un rayo.