Sustitución de Euler

La sustitución de Euler es un método para evaluar integrales de la forma

\int R(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}})\,dx,

donde $R$ es una función racional de $x$ y de ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$ . En tales casos, el integrando se puede cambiar a una función racional usando las sustituciones de Euler.[1]

Primera sustitución

La primera sustitución de Euler se utiliza cuando $a>0$ . Se sustituye

{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=\pm x{\sqrt {a}}+t

y se resuelve la expresión resultante para $x$ . Se tiene que

x={\frac {c-t^{2}}{\pm 2t{\sqrt {a}}-b}}

y el término $dx$ se puede expresar racionalmente en $t$ .

En esta sustitución, se puede elegir el signo positivo o el signo negativo.

Segunda sustitución

Si $c>0$ , se toma

{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=xt\pm {\sqrt {c}}.

Se resuelve para $x$ de manera similar al caso anterior y entonces

x={\frac {\pm 2t{\sqrt {c}}-b}{a-t^{2}}}.

Nuevamente, se puede elegir el signo positivo o negativo.

Tercera sustitución

Si el polinomio $ax^{2}+bx+c$ tiene raíces reales $\alpha$ y $\beta$ , se puede elegir

{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a(x-\alpha )(x-\beta )}}=(x-\alpha )t

.

Esto produce

x={\frac {a\beta -\alpha t^{2}}{a-t^{2}}},

y como en los casos anteriores, se puede expresar el integrando entero racionalmente en $t$ .

Ejemplos

Ejemplo 1

En la integral

\int \!{\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}+c}}}

se puede usar la primera sustitución y establecer ${\sqrt {x^{2}+c}}=-x+t$ , así

x={\frac {t^{2}-c}{2t}}\quad \quad \ dx={\frac {t^{2}+c}{2t^{2}}}\,\ dt

{\sqrt {x^{2}+c}}=-{\frac {t^{2}-c}{2t}}+t={\frac {t^{2}+c}{2t}}

En consecuencia, se obtiene:

\int {\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}+c}}}=\int {\frac {\frac {t^{2}+c}{2t^{2}}}{\frac {t^{2}+c}{2t}}}\,\ dt=\int \!{\frac {\ dt}{t}}=\ln |t|+C=\ln |x+{\sqrt {x^{2}+c}}|+C

Con $c=\pm 1$ se obtienen las fórmulas

{\begin{aligned}\int {\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}+1}}}&={\mbox{arsinh}}(x)+C\\[6pt]\int {\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}-1}}}&={\mbox{arcosh}}(x)+C\qquad (x>1)\end{aligned}}

Ejemplo 2

Para encontrar el valor de

\int {\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}+4x-4}}}}dx,

se determina $t$ usando la primera sustitución de Euler, ${\sqrt {x^{2}+4x-4}}={\sqrt {1}}x+t=x+t$ . Al elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación se obtiene $x^{2}+4x-4=x^{2}+2xt+t^{2}$ , a partir de lo que los términos en $x^{2}$ se cancelan. Resolviendo la ecuación, se obtiene $x$

x={\frac {t^{2}+4}{4-2t}}.

A partir de ahí, resulta que los diferenciales $dx$ y $dt$ están relacionados por

dx={\frac {-2t^{2}+8t+8}{(4-2t)^{2}}}dt.

Por lo tanto,

{\begin{aligned}\int {\frac {dx}{x{\sqrt {x^{2}+4x-4}}}}&=\int {\frac {\frac {-2t^{2}+8t+8}{(4-2t)^{2}}}{({\frac {t^{2}+4}{4-2t}})({\frac {-t^{2}+4t+4}{4-2t}})}}dt\\[6pt]&=2\int {\frac {dt}{t^{2}+4}}=\tan ^{-1}\left({\frac {t}{2}}\right)+C&&t={\sqrt {x^{2}+4x-4}}-x\\[6pt]&=\tan ^{-1}\left({\frac {{\sqrt {x^{2}+4x-4}}-x}{2}}\right)+C\end{aligned}}

Segunda sustitución de Euler

En la integral

\int \!{\frac {dx}{x{\sqrt {-x^{2}+x+2}}}},

se puede usar la segunda sustitución y configurar ${\sqrt {-x^{2}+x+2}}=xt+{\sqrt {2}}$ . Así

x={\frac {1-2{\sqrt {2}}t}{t^{2}+1}}\qquad dx={\frac {2{\sqrt {2}}t^{2}-2t-2{\sqrt {2}}}{(t^{2}+1)^{2}}}dt,

y

{\sqrt {-x^{2}+x+2}}={\frac {1-2{\sqrt {2t}}}{t^{2}+1}}t+{\sqrt {2}}={\frac {-{\sqrt {2}}t^{2}+t+{\sqrt {2}}}{t^{2}+1}}

En consecuencia, se obtiene:

{\begin{aligned}\int {\frac {dx}{x{\sqrt {-x^{2}+x+2}}}}&=\int {\frac {\frac {2{\sqrt {2}}t^{2}-2t-2{\sqrt {2}}}{(t^{2}+1)^{2}}}{{\frac {1-2{\sqrt {2}}t}{t^{2}+1}}{\frac {-{\sqrt {2}}t^{2}+t+{\sqrt {2}}}{t^{2}+1}}}}\;dt\\&=\int \!{\frac {-2}{-2{\sqrt {2}}t+1}}dt\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\int {\frac {-2{\sqrt {2}}}{-2{\sqrt {2}}t+1}}dt\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\ln {\Biggl |}2{\sqrt {2}}t-1{\Biggl |}+C\\&={\frac {\sqrt {2}}{2}}\ln {\Biggl |}2{\sqrt {2}}{\frac {{\sqrt {-x^{2}+x+2}}-{\sqrt {2}}}{x}}-1{\Biggl |}+C\end{aligned}}

Tercera sustitución de Euler

Para evaluar

\int \!{\frac {x^{2}}{\sqrt {-x^{2}+3x-2}}}\ dx,

se puede usar la tercera sustitución y configurar ${\sqrt {-(x-2)(x-1)}}=(x-2)t$ . Así

x={\frac {-2t^{2}-1}{-t^{2}-1}}\qquad \ dx={\frac {2t}{(-t^{2}-1)^{2}}}\,\ dt,

y

{\sqrt {-x^{2}+3x-2}}=(x-2)t={\frac {t}{-t^{2}-1.}}

A continuación,

\int {\frac {x^{2}}{\sqrt {-x^{2}+3x-2}}}\ dx=\int {\frac {({\frac {-2t^{2}-1}{-t^{2}-1}})^{2}{\frac {2t}{(-t^{2}-1)^{2}}}}{\frac {t}{-t^{2}-1}}}\ dt=\int {\frac {2(-2t^{2}-1)^{2}}{(-t^{2}-1)^{3}}}\ dt.

Como se puede ver, esta es una función racional que se puede resolver usando fracciones parciales.

Generalizaciones

Las sustituciones de Euler se pueden generalizar permitiendo el uso de números imaginarios. Por ejemplo, en la integral $\textstyle \int {\frac {dx}{\sqrt {-x^{2}+c}}}$ , se puede usar la sustitución ${\sqrt {-x^{2}+c}}=\pm ix+t$ . Las extensiones a los números complejos permiten usar todo tipo de sustituciones de Euler independientemente de los coeficientes de la expresión cuadrática.

Las sustituciones de Euler se pueden generalizar a una clase más amplia de funciones. Considérense las integrales de la forma

\int R_{1}{\Big (}x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}{\Big )}\,\log {\Big (}R_{2}{\Big (}x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}{\Big )}{\Big )}\,dx,

donde $R_{1}$ y $R_{2}$ son funciones racionales de $x$ y ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$ . Esta integral se puede transformar mediante la sustitución ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a}}+xt$ en otra integral

\int {\tilde {R}}_{1}(t)\log {\big (}{\tilde {R}}_{2}(t){\big )}\,dt,

donde ${\tilde {R}}_{1}(t)$ y ${\tilde {R}}_{2}(t)$ ahora son simplemente funciones racionales de $t$ . En principio, utilizando la factorización y la descomposición en fracciones simples se puede dividir la integral en términos simples, que se pueden integrar analíticamente mediante el uso de la función dilogaritmo.[2]

Véase también

Portal:Matemáticas. Contenido relacionado con Matemáticas.
Métodos de integración
Sustitución trigonométrica
Sustitución de Weierstrass

Referencias

N. Piskunov, Diferentsiaal- ja integraalarvutus körgematele tehnilistele öppeasutustele. Viies, taiendatud trukk. Kirjastus Valgus, Tallinn (1965). Note: Euler substitutions can be found in most Russian calculus textbooks.
Zwillinger, Daniel. The Handbook of Integration. 1992: Jones and Bartlett. pp. 145-146. ISBN 978-0867202939.

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[1] N. Piskunov, Diferentsiaal- ja integraalarvutus körgematele tehnilistele öppeasutustele. Viies, taiendatud trukk. Kirjastus Valgus, Tallinn (1965). Note: Euler substitutions can be found in most Russian calculus textbooks.

[2] Zwillinger, Daniel. The Handbook of Integration. 1992: Jones and Bartlett. pp. 145-146. ISBN 978-0867202939.