Teoría de perturbación quiral

El lagrangiano de la expansión ${\displaystyle p}$ se construye escribiendo todas las interacciones que no están excluidas por la simetría, ordenándolas por el número de potencias del momento o la masa.

Se escoge el orden de modo que ${\displaystyle (\partial \pi )^{2}+m_{\pi }^{2}\pi ^{2}}$ es la aproximación de primer orden, donde ${\displaystyle \pi }$ es el campo del pión y ${\displaystyle m_{\pi }}$ su masa. Términos como ${\displaystyle m_{\pi }^{4}\pi ^{2}+(\partial \pi )^{6}}$ son correcciones de orden más alto.

Los grados de libertad que aparecen en el lagrangiano efectivo son los modos de Goldstone de la simetría quiral, esto es, los piones en la teoría SU(2), y piones, kaones y mesones eta en la teoría SU(3). Por lo tanto, los modos de Goldstone se pueden agrupar en una matriz unitaria dad por el grupo de simetría quiral. En el caso de la teoría SU(2), la parametrización más habitual es:

${\displaystyle U=\exp \left({\frac {i}{F}}{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {\pi }}\right)=\exp \left\{{\frac {i}{F}}{\begin{pmatrix}\pi ^{0}&{\sqrt {2}}\pi ^{+}\\{\sqrt {2}}\pi ^{-}&-\pi ^{0}\end{pmatrix}}\right\}}$

donde ${\displaystyle F}$ = 93 MeV es la constante de desintegración del pión, ${\displaystyle {\vec {\sigma }}=(\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})}$ son las matrices de Pauli, y ${\displaystyle {\vec {\pi }}=(\pi _{1},\pi _{2},\pi _{3})}$ con ${\displaystyle \pi ^{\pm }={\frac {\pi _{1}\mp i\pi _{2}}{\sqrt {2}}}}$ y ${\displaystyle \pi _{3}=\pi ^{0}}$.

Para la teoría quiral SU(3), una posible parametrización es:

${\displaystyle U=\exp \left({\frac {i}{F}}{\vec {\lambda }}\cdot {\vec {\phi }}\right)=\exp \left\{{\frac {i}{F}}{\begin{pmatrix}\pi ^{0}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}\eta _{8}&{\sqrt {2}}\pi ^{+}&{\sqrt {2}}K^{+}\\{\sqrt {2}}\pi ^{-}&-\pi ^{0}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}\eta _{8}&{\sqrt {2}}K^{0}\\{\sqrt {2}}K^{-}&{\sqrt {2}}{\bar {K}}^{0}&-{\frac {2}{\sqrt {3}}}\eta _{8}\end{pmatrix}}\right\}\,,}$

donde ${\displaystyle {\vec {\lambda }}}$ son las matrices de Gell-Mann y ${\displaystyle {\vec {\phi }}}$ el vector de los bosones de Goldstone.

Hay que notar que las expresiones para ${\displaystyle U}$ son altamente no-lineales en los campos, y al ser desarrolladas en series de potencias de ${\displaystyle F}$, contribuyen a todos los términos posteriores en la expansión ${\displaystyle p}$. Además existen varias parametrizaciones para ${\displaystyle F}$ (dependiendo si en su definición se absorbe o no un factor ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, por lo que el valor de la constante se debe ajustar con la tasa de desintegración de los piones cargados.

La teoría efectiva por lo general no es renormalizable. Sin embargo, una vez fijado el esquema de contaje de potencias, la ChPT es renormalizable orden a orden de la expansión quiral. Por ejemplo, si se quiere calcular un observable al orden ${\displaystyle {\mathcal {O}}(p^{4})}$, hay que calcular tanto los términos de contacto del lagrangiano ${\displaystyle {\mathcal {O}}(p^{4})}$ a orden árbol como las contribuciones a un bucle del lagrangiano ${\displaystyle {\mathcal {O}}(p^{2})}$.

Se puede demostrar fácilmente que las contribuciones a un bucle del lagrangiano ${\displaystyle {\mathcal {O}}(p^{2})}$ cuentan como ${\displaystyle {\mathcal {O}}(p^{4})}$, solo hay que notar que la medida de integración contribuye como ${\displaystyle p^{4}}$, el propagador como ${\displaystyle p^{-2}}$, y las derivadas como ${\displaystyle p^{2}}$. Por lo tanto, como el cálculo es válido hasta orden ${\displaystyle {\mathcal {O}}(p^{4})}$, se eliminan las divergencias en el cálculo mediante la renormalización de las constantes de baja energía del lagrangiano ${\displaystyle {\mathcal {O}}(p^{4})}$. Del mismo modo, para eliminar las divergencias del cálculo de un observable a orden ${\displaystyle {\mathcal {O}}(p^{n})}$, se emplean las constantes de acoplamiento del lagrangiano ${\displaystyle {\mathcal {O}}(p^{n})}$ para eliminar dichas divergencias.