Teorema de Arzelá-Ascoli

El teorema de Arzelà-Ascoli es una de las herramientas más poderosas que hay para verificar si una familia de funciones de un espacio topólogico en otro es compacta. Lo que dice el teorema es lo siguiente:

Sea ${\displaystyle X}$ un espacio topológico compacto, ${\displaystyle Y}$ un espacio métrico completo. Un conjunto ${\displaystyle H\subset C(X,Y)}$ (el espacio de las funciones continuas de ${\displaystyle X}$ en ${\displaystyle Y}$) será relativamente compacto en la topología de la métrica infinito si y solamente si:

1. ${\displaystyle H}$ es equicontinuo
2. Para todo ${\displaystyle x\in X}$, el conjunto ${\displaystyle H_{x}=\{f(x):f\in H\}}$ es relativamente compacto en ${\displaystyle Y}$.

Notar que si ${\displaystyle Y=\mathbb {R} }$, la condición 2 es equivalente a pedir que para cada ${\displaystyle x\in X}$, el conjunto ${\displaystyle H_{x}}$ sea acotado. En este mismo caso, se cumple que si además ${\displaystyle X}$ es un espacio topólogico conexo, basta verificar que existe un ${\displaystyle x}$ tal que la condición 2 se cumple, y automáticamente se tendrá para todos.