Teorema de Pohlke
El teorema de Pohlke constituye el principio fundamental de la perspectiva axonométrica. Fue establecido en 1853 por el pintor y maestro de geometría descriptiva alemán Karl Wilhelm Pohlke (1810-1876). La primera prueba del teorema fue publicada en 1864 por el matemático alemán Hermann Amandus Schwarz, quien fue alumno de Pohlke. Por lo tanto, el teorema a veces se denomina también teorema de Pohlke y Schwarz.
Teorema
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- Tres segmentos de recta arbitrarios en un plano con origen común en el punto , que no estén contenidos en la misma recta, pueden considerarse como la proyección paralela de tres aristas de un cubo.
Para establecer la correspondencia con un cubo de arista unidad, se tiene que aplicar una escala adicional, ya sea en el espacio o en el plano. Debido a que una proyección paralela y una escala preservan las proporciones, se puede asignar un punto arbitrario mediante el procedimiento axonométrico descrito más adelante.
El teorema de Pohlke se puede expresar en términos de álgebra lineal como:
- Cualquier transformación afín del espacio tridimensional en un plano puede considerarse como la composición de un semejanza y una proyección paralela.[1]
Aplicación a la axonometría
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El teorema de Pohlke es la justificación del siguiente simple procedimiento para construir una proyección paralela escalada de un objeto tridimensional, utilizando sus coordenadas:[2][3]
- Elijánse las proyecciones de los ejes de coordenadas, no contenidas en una misma recta.
- Elegir para los ejes de coordenadas los acortamientos que se quiera
- La imagen de un punto está determinada por los tres pasos siguientes, comenzando en el punto :
- Avanzar en dirección
- Avanzar en dirección
- Avanzar en dirección
- 4. Marcar el punto como .
Para obtener imágenes sin distorsión, se tienen que elegir coordinadamente los ángulos entre las proyecciones de los tres ejes y los respectivos acortamientos (véase perspectiva axonométrica). Para obtener una proyección ortogonal, solo las imágenes de los ejes son libres y se determinan los acortamientos (véase axonometría ortogonal).
Observaciones sobre la demostración de Schwarz
Schwarz formuló y demostró la afirmación más general siguiente:
- Los vértices de cualquier cuadrilátero se pueden considerar como una proyección paralela oblicua de los vértices de un tetraedro que es semejante a un tetraedro dado,[4] para lo que utilizó un teorema de L’Huilier:
- Cada triángulo puede considerarse como la proyección ortográfica de otro triángulo de una forma dada.
Referencias
- G. Pickert: Vom Satz von Pohlke zur linearen Algebra, Didaktik der Mathematik 11 (1983), 4, pp. 297–306.
- Ulrich Graf, Martin Barner: Darstellende Geometrie. Quelle & Meyer, Heidelberg 1961, ISBN 3-494-00488-9, p.144.
- Roland Stärk: Darstellende Geometrie, Schöningh, 1978, ISBN 3-506-37443-5, p.156.
- Sklenáriková, Zita; Pémová, Marta (2007). «The Pohlke–Schwarz Theorem and its Relevancy in the Didactics of Mathematics». Quaderni di Ricerca in Didattica (G.R.I.M. (Department of Mathematics, University of Palermo, Italy)) (17): 155.
Bibliografía
- K. Pohlke: Zehn Tafeln zur darstellenden Geometrie. Gaertner-Verlag, Berlín 1876 (Google Books.)
- Schwarz, H. A.: Elementarer Beweis des Pohlkeschen Fundamentalsatzes der Axonometrie , J. Reine Angew. Mates. 63, 309–314, 1864.
- Arnold Emch: "Prueba del teorema de Pohlke y sus generalizaciones por afinidad", American Journal of Mathematics, vol. 40, No. 4 (octubre de 1918), pp. 366–374