Teorema del punto fijo de Lefschetz

A continuación se presenta el enunciado formal del teorema. Sea

${\displaystyle f:X\rightarrow X,}$

un mapeo continuo de un espacio triangulable compacto X hacia sí mismo. Se define el número de Lefschetz Λ_f de f mediante la expresión

${\displaystyle \Lambda _{f}:=\sum _{k\geq 0}(-1)^{k}\mathrm {Tr} (f_{*}|H_{k}(X,\mathbb {Q} )),}$

la suma alternada (finita) de las trazas de matriz de los mapas lineales inducidos por f en el H_k(X,Q), de homología singular de X con coeficientes racionales.

Una versión simple del teorema del punto fijo de Lefschetz establece que: si

${\displaystyle \Lambda _{f}\neq 0\,}$

entonces f posee por lo menos un punto fijo, es decir existe por lo menos un x en X tal que f(x) = x. En efecto, dado que el número de Lefschetz ha sido definido a nivel de homología, la conclusión puede ser extendida de manera de indicar que cualquier mapa homotópico de f posee también un punto fijo.

Notar sin embargo que en general el reverso no es cierto: Λ_f puede ser nulo aún si f posee puntos fijos.

Una versión más fuerte del teorema, también conocido como el teorema de Lefschetz-Hopf, establece que, si f posee una cantidad finita de puntos fijos, entonces

${\displaystyle \sum _{x\in \mathrm {Fix} (f)}i(f,x)=\Lambda _{f},}$

donde Fix(f) es el conjunto de los puntos fijos de f, y i(f,x) es el índice del punto fijo x.

• Teoremas de punto fijo
• Función zeta de Lefschetz

• Solomon Lefschetz (1926). «Intersections and transformations of complexes and manifolds». Trans. Amer. Math. Soc. 28: 1-49. doi:10.2307/1989171. jstor
• Solomon Lefschetz (1937). «On the fixed point formula». Ann. of Math.(4) 38: 819-822. doi:10.2307/1968838.