Traza (álgebra lineal)

• La traza es un operador lineal:

${\displaystyle \operatorname {tr} \left(A+B\right)=\operatorname {tr} \left(A\right)+\operatorname {tr} \left(B\right)}$

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle \operatorname{tr}\left( rA \right)=r\left( \operatorname{tr}\left( A \right) \right)}

siendo ${\displaystyle A\,}$ y ${\displaystyle B\,}$ matrices cuadradas, y ${\displaystyle r\,}$ un escalar.

• Cuando la diagonal principal no se ve afectada al transponer la matriz,

${\displaystyle \operatorname {tr} \left(A^{T}\right)=\operatorname {tr} \left(A\right)}$

• Si ${\displaystyle A\,}$ es una matriz de ${\displaystyle n\times m}$ y ${\displaystyle B\,}$ una matriz de ${\displaystyle m\times n}$, entonces

${\displaystyle \operatorname {tr} \left(AB\right)=\operatorname {tr} \left(BA\right)}$

Para demostrarlo, tenemos en cuenta que el producto de las matrices ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$ viene dado por

${\displaystyle [AB]_{ij}=\sum _{k=1}^{m}[A]_{ik}[B]_{kj}}$

con lo cual, podemos expresar la traza de ${\displaystyle AB}$ como

${\displaystyle \operatorname {tr} \left(AB\right)=\sum _{i=1}^{n}[AB]_{ii}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{k=1}^{m}[A]_{ik}[B]_{ki}}$

y teniendo en cuenta la propiedad asociativa del sumatorio

${\displaystyle \operatorname {tr} \left(AB\right)=\sum _{k=1}^{m}\sum _{i=1}^{n}[A]_{ik}[B]_{ki}=\sum _{k=1}^{m}\sum _{i=1}^{n}[B]_{ki}[A]_{ik}=\sum _{k=1}^{m}[BA]_{kk}=\operatorname {tr} \left(BA\right)}$

Notar que ${\displaystyle AB\,}$ es una matriz cuadrada de ${\displaystyle n\times n}$, mientras que ${\displaystyle BA\,}$ es una matriz cuadrada de ${\displaystyle m\times m}$.

• Sean ${\displaystyle A,B,C\,}$ matrices cuadradas de ${\displaystyle n\times n}$. Entonces las traza del producto ${\displaystyle ABC\,}$ tiene la propiedad de ser cíclica; es decir

${\displaystyle \operatorname {tr} \left(ABC\right)=\operatorname {tr} \left(CAB\right)=\operatorname {tr} \left(BCA\right)}$

• Si ${\displaystyle A\,}$ es una matriz cuadrada de orden ${\displaystyle n,\,}$ con ${\displaystyle n\,}$ autovalores reales o complejos (incluyendo multiplicidad): Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle \lambda _{1},...,\lambda _{n} \,} entonces:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle \operatorname{tr}\left( A \right)=\sum\limits_{i=1}^{n}{\lambda _{i}}}

Esto puede verse fácilmente teniendo en cuenta la correspondiente forma canónica de Jordan de la aplicación lineal asociada a la matriz. Puesto que la traza de una matriz y de la forma de Jordan asociada son iguales por ser la traza un invariante algebraico, la traza de la matriz es la suma de los elementos de la diagonal de la forma de Jordan, es decir, la suma de autovalores.

El concepto de traza definido para matrices puede generalizarse a espacios de dimensión infinita, aunque en esos casos no cualquier operador tiene una traza definida, sino una clase amplia de operadores denominados operadores de clase traza u operadores de traza finita.

• Traza de un cuerpo
• Operador de clase de traza

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Trace of a square matrix», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104.
• Weisstein, Eric W. «Matrix Trace». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.