Torsión mecánica

Ejemplo de solicitación que produce un momento torsor constante y torsión recta sobre en una barra de sección cilíndrica.

Distribución de tensiones sobre una sección circular maciza y una sección circular hueca para pequeñas deformaciones.

La teoría de Coulomb es aplicable a ejes de transmisión de potencia macizos o huecos, debido a la simetría circular de la sección no pueden existir alabeos diferenciales sobre la sección. De acuerdo con la teoría de Coulomb la torsión genera una tensión cortante el cual se calcula mediante la fórmula:

${\displaystyle \tau _{\rho }={\frac {T}{J}}\rho }$

Donde:

${\displaystyle \tau _{\rho }\;}$: Esfuerzo cortante a la distancia ${\displaystyle \rho }$.

${\displaystyle T}$: Momento torsor total que actúa sobre la sección.

${\displaystyle \rho \ }$: distancia desde el centro geométrico de la sección hasta el punto donde se está calculando la tensión cortante.

${\displaystyle J}$: Módulo de torsión.

Esta ecuación se asienta en la hipótesis cinemática de Coulomb sobre como se deforma una pieza prismática con simetría de revolución, es decir, es una teoría aplicable solamente a elementos sección circular o circular hueca. Para piezas con sección de ese tipo se supone que el eje baricéntrico permanece inalterado y cualquier otra línea paralea al eje se transforma en una espiral que gira alrededor del eje baricéntrico, es decir, se admite que la deformación viene dada por unos desplazamientos del tipo:

${\displaystyle u_{x}(x,y,z)=0\qquad u_{y}(x,y,z)=-\alpha (x)z\qquad u_{z}(x,y,z)=+\alpha (x)y}$

El tensor de deformaciones para una pieza torsionada como la anterior se obtiene derivando adecuadamente las anteriores componentes del vector de desplazamiento:

${\displaystyle \varepsilon _{xx}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}=0\qquad \varepsilon _{xy}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)=-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial \alpha }{\partial x}}z=-{\frac {\alpha '_{x}z}{2}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{yy}={\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}=0\qquad \varepsilon _{xz}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}\right)=+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial \alpha }{\partial x}}y=+{\frac {\alpha '_{x}y}{2}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{zz}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}=0\qquad \varepsilon _{yz}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\right)=0}$

A partir de estas componentes del tensor de deformaciones usando las ecuaciones de Lamé-Hooke llevan a que el tensor tensión viene dado por:

${\displaystyle \mathbf {T} _{tor}={\frac {G}{2}}{\begin{bmatrix}0&-\alpha '_{x}z&+\alpha '_{x}y\\-\alpha '_{x}z&0&0\\+\alpha '_{x}y&0&0\end{bmatrix}}}$

Usando las ecuaciones de equivalencia se llega a la relación existente entre la función α y el momento torsor:

${\displaystyle M_{tor}=\int _{\Sigma }(-\tau _{xy}z+\tau _{xz}y)\ {\text{d}}y{\text{d}}z={\frac {\alpha '_{x}G}{2}}\int _{\Sigma }(z^{2}+y^{2})\ {\text{d}}y{\text{d}}z\,={\frac {\alpha '_{x}G}{2}}I_{0}}$

Donde ${\displaystyle I_{0}=I_{y}+I_{z}\,}$, es el momento de inercia polar que es la suma de los segundos momentos de área.

Para una barra recta de sección no circular además del giro relativo aparecerá un pequeño alabeo que requiere una hipótesis cinemática más complicada. Para representar la deformación se puede tomar un sistema de ejes en el que X coincida con el eje de la viga y entonces el vector de desplazamientos de un punto de coordenadas (x, y, z) viene dado en la hipótesis cinemática de Saint-Venant por:

${\displaystyle u_{x}(x,y,z)=\omega (y,z){\frac {{\text{d}}\theta _{x}(x)}{{\text{d}}x}}\qquad u_{y}(x,y,z)=-(z-z_{C})\theta _{x}(x)\qquad u_{z}(x,y,z)=+(y-y_{C})\theta _{x}(x)}$

Donde ${\displaystyle \theta _{x}(x)\;}$ es el giro relativo de la sección (siendo su derivada constante); siendo z_C y y_C las coordenadas del centro de cortante respecto al centro de gravedad de la sección transversal y siendo ω(y, z) la función de alabeo unitario que da los desplazamientos perpendiculares a la sección y permiten conocer la forma curvada final que tendrá la sección transversal. Conviene señalar, que la teoría al postular que la derivada del giro es constante es sólo una aproximación útil para piezas de gran inercia torsional. Calculando las componentes del tensor de deformaciones a partir de las derivadas del desplazamiento se tiene que:

${\displaystyle {\begin{matrix}\varepsilon _{xx}={\cfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}=\omega {\cfrac {{\text{d}}\theta _{x}}{{\text{d}}x}}&&\varepsilon _{xy}={\cfrac {1}{2}}\left[{\cfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}+{\cfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right]={\cfrac {1}{2}}\left[{\cfrac {\partial \omega }{\partial y}}-(z-z_{C})\right]{\cfrac {{\text{d}}\theta _{x}}{{\text{d}}x}}\\\varepsilon _{yy}={\cfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}=0&&\varepsilon _{xz}={\cfrac {1}{2}}\left[{\cfrac {\partial u_{x}}{\partial z}}+{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial x}}\right]={\cfrac {1}{2}}\left[{\cfrac {\partial \omega }{\partial y}}+(y-y_{C})\right]{\cfrac {{\text{d}}\theta _{x}}{{\text{d}}x}}\\\varepsilon _{zz}={\cfrac {\partial u_{z}}{\partial z}}=0&&\varepsilon _{yz}={\cfrac {1}{2}}\left[{\cfrac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial y}}\right]=0\end{matrix}}}$

Calculando las tensiones a partir de las anteriores deformaciones e introduciéndolas en la ecuación de equilibrio elástico se llega a:

${\displaystyle \mathbf {T} _{tor}={\begin{bmatrix}0&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{xy}&0&0\\\tau _{xz}&0&0\end{bmatrix}}}$

Para secciones macizas de gran rigidez torsional la distribución de las tensiones asociadas a la torsión guarda una analogía mecánica con la deformación de una membrana elástica cuasiplana. Concretamente Prandtl probó en 1903 que la forma que adopta la membrana puede relacionarse con una función de tensiones cuyas derivadas dan las tensiones tangenciales en cada dirección.[2] Dicho de otra manera la pendiente de una membrana de Prandtl deformada coinciden con las tensiones tangenciales de torsión de un prisma mecánico cuya sección transversal tenga precisamente la misma forma que la membrana.

En ese caso para una sección simplemente conexa ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2}}$ (es decir, maciza), el problema de la torsión puede plantearse en términos de la función de tensiones de Prandtl que viene definida por:

${\displaystyle {\begin{cases}\Delta \Phi =0&\mathrm {en} \ \Omega \\\Phi =0&\mathrm {en} \ \partial \Omega \end{cases}}}$

Y en términos de estas las tensiones vienen dadas por:

${\displaystyle {\begin{cases}\tau _{xz}=+{\cfrac {M_{T}}{k}}{\cfrac {\partial \Phi }{\partial y}}\\\tau _{xy}=-{\cfrac {M_{T}}{k}}{\cfrac {\partial \Phi }{\partial z}}\end{cases}},\qquad k:=2\int _{\Omega }\Phi \ dA=\int _{\Omega }\|{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \|^{2}\ dA}$

En este caso las tensiones tangenciales pueden considerarse aproximadamente constantes sobre una línea paralela al espesor de la pieza, es decir, perpendicular al contorno exterior de la pieza. La tensión tangencial en este caso puede expresarse mediante:

${\displaystyle \tau (s)={\frac {M_{x}}{2e(s)A_{m}}}}$

Donde:

${\displaystyle A_{m}\;}$, es el área encerrada por la línea media de la sección tubular.

${\displaystyle e(s)\;}$, es el espesor de la sección tubular en el punto s de la curva del contorno.

Mientras que el giro:

${\displaystyle \theta ={\frac {M_{x}}{GJ}}={\frac {M_{x}}{4GA_{m}^{2}}}\int _{L_{\Gamma }}{\frac {{\text{d}}s}{e(s)}}}$

En caso de que el espesor sea e(s) = e₀constante esta última ecuación se reduce a:

${\displaystyle \theta ={\frac {L_{\Gamma }}{4GA_{m}^{2}e_{0}}}M_{x}}$

Para un rectángulo muy alargado (b << a) la tensión tangencial máxima y el giro pueden aproximarse por:

${\displaystyle \tau _{max}={\frac {M_{x}}{{\frac {1}{3}}ab^{2}}}\qquad \theta ={\frac {M_{x}L}{G\left({\frac {1}{3}}ab^{3}\right)}}}$

Para una perfil I o perfil H que puede ser aproximado uniendo rectángulos de dimensiones ${\displaystyle (a_{i},b_{i})}$ (dos alas rectangualres alargadas y un alma rectangular alargada) las expresiones anteriores se pueden generalizar a:

${\displaystyle \tau _{i,max}\leq {\frac {M_{x}b_{i}}{{\frac {1}{3}}\sum _{i}a_{i}b_{i}^{3}}}\qquad \theta \leq {\frac {M_{x}}{G\left({\frac {1}{3}}\sum _{i}a_{i}b_{i}^{3}\right)}}}$

Donde τ_i,max es la tensión tangencial máxima sobre el rectángulo i-ésimo, b_i es el espesor (ancho) de dicho rectángulo y a_i su largo.