Triángulos agudos y obtusos

Si el ángulo C es obtuso, entonces para los lados a, b, y c, se tiene que[4]^{: p.1, #74}X

${\displaystyle {\frac {c^{2}}{2}}<a^{2}+b^{2}<c^{2},}$

con la desigualdad de la izquierda acercándose a la igualdad en el límite solo cuando el ángulo del vértice de un triángulo isósceles se aproxima a 180°, y con la desigualdad de la derecha acercándose a la igualdad solo cuando el ángulo obtuso se aproxima a 90°.

Si el triángulo es agudo, entonces

${\displaystyle a^{2}+b^{2}>c^{2},\quad b^{2}+c^{2}>a^{2},\quad c^{2}+a^{2}>b^{2}.}$

Si C es el ángulo más grande y h_c es la altura desde el vértice C, entonces para un triángulo agudo[4]^{: p.135, #3109}

${\displaystyle {\frac {1}{h_{c}^{2}}}<{\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}},}$

con la desigualdad opuesta si C es obtuso.

Con el lado más largo c y medianas m_a y m_b desde el otro lado,[4]^{: p.136, #3110}

${\displaystyle 4c^{2}+9a^{2}b^{2}>16m_{a}^{2}m_{b}^{2}}$

para un triángulo agudo, pero con la desigualdad invertida para un triángulo obtuso.

La mediana m_c del lado más largo es mayor o menor que el circumradio para un triángulo agudo u obtuso, respectivamente:[4]^{: p.136, #3113}

${\displaystyle m_{c}>R}$

para triángulos agudos, con el caso opuesto para triángulos obtusos.

La desigualdad de Ono para el área A,

${\displaystyle 27(b^{2}+c^{2}-a^{2})^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}\leq (4A)^{6},}$

se mantiene para todos los triángulos agudos, pero no para todos los triángulos obtusos.

Para un triángulo agudo se tiene que, para los ángulos A, B, y C,[4]^{: p.26, #954}

${\displaystyle \cos ^{2}A+\cos ^{2}B+\cos ^{2}C<1,}$

con la desigualdad inversa para un triángulo obtuso.

Para un triángulo agudo con circumradio R,[4]^{: p.141, #3167}

${\displaystyle a\cos ^{3}A+b\cos ^{3}B+c\cos ^{3}C\leq {\frac {abc}{4R^{2}}}}$

y[4]^{: p.155, #S25}

${\displaystyle \cos ^{3}A+\cos ^{3}B+\cos ^{3}C+\cos A\cos B\cos C\geq {\frac {1}{2}}.}$

Para un triángulo agudo,[4]^{: p.115, #2874}

${\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}A+\operatorname {sen} ^{2}B+\operatorname {sen} ^{2}C>2,}$

con la desigualdad inversa para un triángulo obtuso.

Para un triángulo agudo,[4]^{: p178, #241.1}

${\displaystyle \operatorname {sen} A\cdot \operatorname {sen} B+\operatorname {sen} B\cdot \operatorname {sen} C+\operatorname {sen} C\cdot \operatorname {sen} A\leq (\cos A+\cos B+\cos C)^{2}.}$

Para cualquier triángulo, las identidades trigonométricas establecen que la suma de las tangentes de los ángulos es igual a su producto. Como un ángulo agudo tiene un valor tangente positivo mientras que un ángulo obtuso tiene uno negativo, la expresión del producto de las tangentes muestra que

${\displaystyle \tan A+\tan B+\tan C=\tan A\cdot \tan B\cdot \tan C>0}$

para triángulos agudos, mientras que el sentido opuesto a la desigualdad se aplica a los triángulos obtusos.

Se tiene que[4]^{: p.26, #958}

${\displaystyle \tan A+\tan B+\tan C\geq 2(\operatorname {sen} 2A+\operatorname {sen} 2B+\operatorname {sen} 2C)}$

para triángulos agudos, y al revés para triángulos obtusos.

Para todos los triángulos agudos,[4]^{: p.40, #1210}

${\displaystyle (\tan A+\tan B+\tan C)^{2}\geq (\sec A+1)^{2}+(\sec B+1)^{2}+(\sec C+1)^{2}.}$

Para todos los triángulos agudos con circunferencia inscrita de radio r y circunferencia circunscrita de radio R,[4]^{: p.53, #1424}

${\displaystyle a\tan A+b\tan B+c\tan C\geq 10R-2r.}$

Para un triángulo agudo con área K,[4]^{: p.103, #2662}

${\displaystyle ({\sqrt {\cot A}}+{\sqrt {\cot B}}+{\sqrt {\cot C}})^{2}\leq {\frac {K}{r^{2}}}.}$

En un triángulo agudo, la suma del circuradio R y el inradio r es menos de la mitad de la suma de los lados más cortos a y b:[4]^{: p.105, #2690}

${\displaystyle R+r<{\frac {a+b}{2}},}$

mientras que la desigualdad inversa se cumple para un triángulo obtuso.

Para un triángulo agudo con medianas m_a, m_b, y m_c y circunradio R, se tiene que[4]^{: p.26, #954}

${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}>6R^{2}}$

mientras que la desigualdad opuesta es válida para un triángulo obtuso.

Además, un triángulo agudo satisface[4]^{: p.26, #954}

${\displaystyle r^{2}+r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}<8R^{2},}$

en términos de los radios de las circunferencias exincritas r_a, r_b, y r_c, de nuevo con la desigualdad inversa para un triángulo obtuso.

Para un triángulo agudo con semiperímetro s,[4]^{: p.115, #2874}

${\displaystyle s-r>2R,}$

y la desigualdad inversa se cumple para un triángulo obtuso.

Para un triángulo agudo con área K,[4]^{: p.185, #291.6}

${\displaystyle ab+bc+ca\geq 2R(R+r)+{\frac {8K}{\sqrt {3}}}.}$

Para un triángulo agudo, la distancia entre el circuncentro O y el ortocentro H satisface[4]^{: p.26, #954}

${\displaystyle OH<R,}$

con la desigualdad opuesta para un triángulo obtuso.

Para un triángulo agudo, la distancia entre el centro del incírculo I y el ortocentro H satisface[4]^{: p.26, #954}

${\displaystyle IH<r{\sqrt {2}},}$

donde r es el radio de la circunferencia inscrita, con la desigualdad inversa para un triángulo obtuso.

Si uno de los cuadrados inscritos de un triángulo agudo tiene una longitud lateral x_a y otro tiene una longitud lateral x_b con x_a < x_b, entonces[2]^{: p. 115}

${\displaystyle 1\geq {\frac {x_{a}}{x_{b}}}\geq {\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\approx 0.94.}$

Si dos triángulos obtusos tienen lados (a, b, c) y (p, q, r) con c y r siendo los lados más largos respectivos, entonces[4]^{: p.29, #1030}

${\displaystyle ap+bq<cr.}$

El triángulo de Calabi, que es el único triángulo no equilátero para el cual el cuadrado más grande que cabe en el interior se puede colocar en tres maneras diferentes, es obtuso e isósceles con ángulos base de 39.1320261...° y un tercer ángulo de 101.7359477...°.

El triángulo equilátero, con tres ángulos de 60°, es agudo.

El Teorema de Morley, formado a partir de cualquier triángulo por las intersecciones de sus trisectores angulares adyacentes, es equilátero y, por lo tanto, agudo.

El triángulo áureo es el triángulo isósceles en el que la relación del lado duplicado con respecto a la base es igual al número áureo. Es agudo, con ángulos de 36°, 72° y 72°, lo que lo convierte en el único triángulo con ángulos en las proporciones 1: 2: 2.[5]

El triángulo heptagonal, con sus lados que coinciden respectivamente con un lado, la diagonal más corta y la diagonal más larga de un heptágono regular, es obtuso, con ángulos ${\displaystyle \pi /7,2\pi /7,}$ y ${\displaystyle 4\pi /7.}$

El único triángulo con cuatro números enteros consecutivos para una altura y los tres lados, es agudo, y tiene lados (13, 14, 15) y la altura del lado 14 es igual a 12.

El triángulo de perímetro más pequeño con lados enteros en progresión aritmética, y el triángulo de lados enteros de perímetro más pequeño con lados distintos, es obtuso: es decir, el que tiene lados (2, 3, 4).

Los únicos triángulos con un ángulo el doble de otro y teniendo lados enteros en progresión aritmética son agudos: a saber, el triángulo (4,5,6) y sus múltiplos.[6]

No hay triángulos de lados enteros agudos con área = perímetro, pero sí existen tres triángulos obtusos que satisfacen esta condición, que tienen lados[7] (6,25,29), (7,15,20) y (9,10,17).

El triángulo de lados enteros más pequeño con tres medianas racionales es agudo, con lados[8] (68, 85, 87).

Los triángulos de Herón tienen lados enteros y área entera. El triángulo de Herón oblicuo con el perímetro más pequeño es agudo, con lados (6, 5, 5). Los dos triángulos oblicuos de Herón que comparten el área más pequeña son el agudo con lados (6, 5, 5) y el obtuso con lados (8, 5, 5). El área de cada uno es 12.