Altura (triángulo)

Sean D, E y F los pies de las alturas de A, B y C, respectivamente. Entonces:

• El producto de las longitudes de los segmentos en los que el ortocentro divide una altura es el mismo para las tres alturas:[6][7]

${\displaystyle AH\cdot HD=BH\cdot HE=CH\cdot HF.}$

El círculo centrado en H que tiene por radio la raíz cuadrada de esta constante es el círculo polar.[8] del triángulo

• La suma de los cocientes (para las tres alturas) resultantes de dividir la distancia del ortocentro desde la base por la longitud de la altura es 1:[9] (Esta propiedad y la siguiente son aplicaciones de una propiedad más general de cualquier punto interior y de las tres cevianas que lo atraviesan)

${\displaystyle {\frac {HD}{AD}}+{\frac {HE}{BE}}+{\frac {HF}{CF}}=1.}$

• La suma de las relaciones en las tres alturas de la distancia del ortocentro desde el vértice a la longitud de la altura es 2:[9]

${\displaystyle {\frac {AH}{AD}}+{\frac {BH}{BE}}+{\frac {CH}{CF}}=2.}$

• El conjugado isogonal del ortocentro es el circuncentro del triángulo.[10]

• El conjugado isotómico del ortocentro es el punto simediano del triángulo anticomplementario.[11]

• Cuatro puntos en el plano, de modo que uno de ellos es el ortocentro del triángulo formado por los otros tres, se denominan un sistema ortocéntrico o cuadrilátero ortocéntrico.

Sea R el circunradio de un triángulo. Entonces[12][13]

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+AH^{2}+BH^{2}+CH^{2}=12R^{2}.}$

Además, siendo r el radio de la circunferencia inscrita, y siendo r_a, r_b y r_c los radios de sus circunferencias exinscritas, y R de nuevo como el radio de su circunferencia circunscrita, las siguientes relaciones se mantienen con respecto a las distancias del ortocentro desde los vértices:[14]

${\displaystyle r_{a}+r_{b}+r_{c}+r=AH+BH+CH+2R,}$

${\displaystyle r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}=AH^{2}+BH^{2}+CH^{2}+(2R)^{2}.}$

Si cualquier altura, por ejemplo, AD, se extiende para intersecar la circunferencia circunscrita en P, de modo que AP es una cuerda de la circunferencia, entonces el pie D divide el segmento HP:[7]

${\displaystyle HD=DP.}$

Las directrices de todas las parábolas que son tangentes externamente a un lado de un triángulo y tangentes a las extensiones de los otros lados pasan por el ortocentro.[15]

Una circuncónica que pasa por el ortocentro de un triángulo es una hipérbola.[16]

El ortocentro H, el centroide G, el circuncentro O y el centro N de la circunferencia de los nueve puntos se encuentran en una sola línea, conocida como recta de Euler.[17] El centro de la circunferencia de nueve puntos se encuentra en el punto medio de la línea de Euler, entre el ortocentro y el circuncentro, y la distancia entre el centroide y el circuncentro es la mitad de la existente entre el centroide y el ortocentro:[18]

${\displaystyle OH=2NH,}$

${\displaystyle 2OG=GH.}$

El ortocentro está más cerca del incentro I que del centroide, y el ortocentro está más alejado que el incentro del centroide:

${\displaystyle HI<HG,}$

${\displaystyle HG>IG.}$

En términos de los lados a, b, c, el radio de la circunferencia inscrita r y el radio de la circunferencia circunscrita R,[19]

${\displaystyle OH^{2}=R^{2}-8R^{2}\cos A\cos B\cos C=9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2}),}$[20]^{: p. 449}

${\displaystyle HI^{2}=2r^{2}-4R^{2}\cos A\cos B\cos C.}$

Datos de trabajo

Sea el triángulo BAC, con la base BC = a, en posición horizontal, la altura h relativa del lado a, uno de ángulos debe ser agudo, para el caso C < 90°; H, pie de la altura AH = h. en el lado BC y HC = m, proyección ortogonal del lado b sobre el lado a.

Ejecución de los pasos

De los triángulos AHC y ABC resulta que se cumple:

(1) ${\displaystyle h^{2}=b^{2}-b^{2}}$ según el teorema de Pitágoras

(2)${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2a\cdot m}$ por teorema de del cuadrado del lado opuesto de un ángulo agudo

Despejando m de (2), se reemplaza en (1),

teniendo h² se desarrolla algebraicamente, usando diferencia de cuadrados; finalmente, cuando se tiene en el numerador cuatro factores lineales

${\displaystyle h^{2}={\frac {p(p-a)(p-b)(p-c)}{4a^{2}}}}$, siendo ${\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}}$ el semiperímetro

se halla la

Fórmula de la altura

${\displaystyle h={\frac {2}{a}}\times {\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}$[29]

Área según Herón

Empleando la fórmula anterior se aplica al cálculo de área triangular: ${\displaystyle A_{\Delta }={\frac {ah}{2}}}$ resulta el área del triángulo ${\displaystyle A_{\Delta }={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}$

Las tres alturas

Se presentan las alturas de los tres lados de un triángulo

1. altura del lado a: ${\displaystyle \ h_{a}={\frac {2}{a}}\times {\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}$
2. altura del lado b: ${\displaystyle \ h_{b}={\frac {2}{b}}\times {\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}$
3. altura del lado c: ${\displaystyle \ h_{c}={\frac {2}{c}}\times {\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}$ [30]

Si se hace ${\displaystyle \ \alpha =2{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}$, las igualdades inmediatas anteriores dan ${\displaystyle h_{a}={\frac {\alpha }{a}};\ h_{b}={\frac {\alpha }{b}};\ h_{c}={\frac {\alpha }{c}}}$, lo que indica que las alturas son inversamente proporcionales a sus respectivos lados.

Considérese un triángulo arbitrario con lados a, b, c y con las correspondientes alturas h_a, h_b y h_c. Las alturas y el radio de la circunferencia inscrita r están relacionados por[31]^{: Lemma 1}

${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}.}$

Denominando la altura desde un lado de un triángulo como h_a, los otros dos lados como b y c, y el radio de la circunferencia circunscrita del triángulo como R, la altura viene dada por [32]

${\displaystyle h_{a}={\frac {bc}{2R}}.}$

Si p₁, p₂ y p₃ son las distancias perpendiculares desde cualquier punto P a los lados, y h₁, h₂ y h₃ son las alturas a los lados respectivos, entonces [33]

${\displaystyle {\frac {p_{1}}{h_{1}}}+{\frac {p_{2}}{h_{2}}}+{\frac {p_{3}}{h_{3}}}=1.}$

Si E es cualquier punto en una altura AD de un triángulo ABC, entonces[34]^: 77–78

${\displaystyle AC^{2}+EB^{2}=AB^{2}+CE^{2}.}$

Para cualquier punto P dentro de un triángulo equilátero, la suma de las perpendiculares a los tres lados es igual a la altura del triángulo. Esta propiedad es conocida como el teorema de Viviani.

En un triángulo rectángulo, las tres alturas h_a, h_b y h_c (las dos primeras son iguales a las longitudes de los catetos b y a, respectivamente) están relacionadas según[35][36]

${\displaystyle {\frac {1}{h_{a}^{2}}}+{\frac {1}{h_{b}^{2}}}={\frac {1}{h_{c}^{2}}}.}$