Circuncónica e incónica

El centro de una circuncónica general es el punto

u (− au + bv + cw) : v (au − bv + cw) : w (au + bv − cw).

Las líneas tangentes a una circuncónica general en los vértices A, B, C son, respectivamente,

wv + vz = 0,

uz + wx = 0,

vx + uy = 0.

El centro de una incónica general es el punto

cy + bz : az + cx : bx + ay.

Las líneas tangentes a una incónica general son las líneas rectas laterales de ΔABC, dadas por las ecuaciones x = 0, y = 0, z = 0.

• Cada circuncónica no circular se corta con la circunferencia circunscrita de ΔABC en un punto que no sea A, B o C, a menudo llamado el cuarto punto de intersección, dado por las coordenadas trilineales

(cx − az) (ay − bx) : (ay − bx) (bz − cy) : (bz − cy) (cx − az)

• Si P = p : q : r es un punto en una circuncónica general, entonces la tangente a la cónica en P viene dada por

(vr + wq) x + (wp + ur) y + (uq + vp) z = 0.

• La circuncónica general se reduce a una parábola si y solo si

u²a² + v²b² + w²c² − 2vwbc − 2wuca − 2vavab = 0,

y a una hipérbola si y solo si

u cos A + v cos B + w cos C = 0.

• De todos los triángulos inscritos en una elipse dada, el centroide del que tiene el área más grande coincide con el centro de la elipse.[3]^: p.147 La elipse dada, pasando por los tres vértices de este triángulo y centrada en el centroide del triángulo, se llama circunelipse de Steiner.

• Una incónica general se reduce a una parábola si y solo si

ubc + vca + wab = 0,

en cuyo caso es tangente externamente a uno de los lados del triángulo y es tangente a los otros dos lados extendidos.

• Supóngase que p₁ : q₁ : r₁ y p₂ : q₂ : r₂ son puntos distintos, y sea

X = (p₁ + p₂t) : (q₁ + q₂t) : (r₁ + r₂t).

Como el parámetro t se extiende a través del dominio de los números reales, el lugar geométrico de X es una recta. Definiendo

X² = (p₁ + p₂t) ² : (q₁ + q₂t) ² : (r₁ + r₂t)²,

el lugar geométrico de X² es la incónica, necesariamente una elipse, dada por la ecuación

L⁴x² + M⁴y² + N⁴z² − 2M²N²yz − 2N²L²zx − 2L²M²xy = 0,

donde

L = q₁r₂ − r₁q₂,

M = r₁p₂ − p₁r₂,

N = p₁q₂ − q₁p₂.

• Un punto en el interior de un triángulo es el centro de una inelipse del propio triángulo si y solo si el punto se encuentra en el interior del triángulo cuyos vértices se encuentran en los puntos medios de los lados del triángulo original.[3]^: p.139 Para un punto dado dentro del triángulo medial, la inelipse con su centro en ese punto es única.[3]^: p.142
• La inelipse con el área más grande es la inelipse de Steiner, también llamada la inelipse del punto medio, con su centro en el centroide[3]^: p.145 del triángulo. En general, la relación entre el área de la inelipse y el área del triángulo, en términos de las coordenadas baricéntricas de suma unidad ${\displaystyle (\alpha ,\beta ,\gamma )}$ del centro de la inelipse, es[3]^: p.143

${\displaystyle {\frac {\text{Área de la inelipse}}{\text{Área del triángulo}}}=\pi {\sqrt {(1-2\alpha )(1-2\beta )(1-2\gamma )}},}$

que se maximiza para las coordenadas baricéntricas del centroide ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =1/3.}$

• Las líneas que conectan los puntos de tangencia de cualquier inelipse de un triángulo con los vértices opuestos del triángulo son concurrentes.[3]^: p.148