Teorema de la media geométrica

${\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle ADC\sim \triangle DBC}$

Demostración del teorema:

Los triángulos ${\displaystyle \triangle ADC}$ y ${\displaystyle \triangle BCD}$ son semejantes, ya que:

• Considérense los triángulos ${\displaystyle \triangle ABC,\triangle ACD}$. Entonces se tiene que ${\displaystyle \angle ACB=\angle ADC=90^{\circ }}$ y ${\displaystyle \angle BAC=\angle CAD}$, y por lo tanto, por el postulado AA, ${\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle ACD}$
• Además, considérense los triángulos ${\displaystyle \triangle ABC,\triangle BCD}$. Aquí se tiene que ${\displaystyle \angle ACB=\angle BDC=90^{\circ }}$ y ${\displaystyle \angle ABC=\angle CBD}$, y por lo tanto, por el postulado AA, entonces ${\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle BCD}$

Por lo tanto, ambos triángulos ${\displaystyle \triangle ACD}$ y ${\displaystyle \triangle BCD}$ son semejantes a ${\displaystyle \triangle ABC}$ y entre ellos, es decir ${\displaystyle \triangle ACD\sim \triangle ABC\sim \triangle BCD}$.

Debido a esta relación de semejanza, se obtiene la siguiente igualdad de razones, cuyo reordenamiento algebraico produce el teorema:

${\displaystyle {\frac {h}{p}}={\frac {q}{h}}\,\Leftrightarrow \,h^{2}=pq\,\Leftrightarrow \,h={\sqrt {pq}}\qquad (h,p,q>0)}$

Prueba recíproca:

Cuando se tiene un triángulo ${\displaystyle \triangle ABC}$ en el que ${\displaystyle h^{2}=pq}$, entonces es necesario demostrar que el ángulo en C es un ángulo recto. Dado que ${\displaystyle h^{2}=pq}$, también se tiene que ${\displaystyle {\tfrac {h}{p}}={\tfrac {q}{h}}}$. Junto con la condición de que ${\displaystyle \angle ADC=\angle CDB}$, entonces los triángulos ${\displaystyle \triangle ADC}$ y ${\displaystyle \triangle BDC}$ tienen un ángulo de igual tamaño y tienen pares de lados correspondientes con la misma proporción. Esto significa que los triángulos son semejantes, lo que produce:

${\displaystyle \angle ACB=\angle ACD+\angle DCB=\angle ACD+(90^{\circ }-\angle DBC)=\angle ACD+(90^{\circ }-\angle ACD)=90^{\circ }}$

Demostración basada en el teorema de Pitágoras

En la configuración del teorema de la media geométrica hay tres triángulos rectángulos ${\displaystyle \triangle ABC}$, ${\displaystyle \triangle ADC}$ y ${\displaystyle \triangle DBC}$, en el que el teorema de Pitágoras produce:

${\displaystyle h^{2}=a^{2}-q^{2}}$, ${\displaystyle h^{2}=b^{2}-p^{2}}$ y ${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$

Sumando las dos primeras dos ecuaciones, y luego considerando la tercera, lleva a:

${\displaystyle 2h^{2}=a^{2}+b^{2}-p^{2}-q^{2}=c^{2}-p^{2}-q^{2}=(p+q)^{2}-p^{2}-q^{2}=2pq}$ .

Una división por dos finalmente produce la fórmula del teorema de la media geométrica.

Diseccionar el triángulo rectángulo a lo largo de su altura h produce dos triángulos semejantes (rojo y amarillo), que se pueden suplementar (cuadrado y rectángulo ambos de color verde) y organizar de dos formas alternativas, componiendo dos triángulos rectángulos de mayor tamaño, con lados perpendiculares de longitudes p+h y q+h en ambos casos. Una de estas disposiciones requiere un cuadrado (verde) de área h² para completarla, y la otra necesita un rectángulo (verde) de área pq. Como ambas disposiciones producen el mismo triángulo, las áreas del cuadrado y del rectángulo deben ser idénticas.

El cuadrado de la altitud se puede transformar en un rectángulo de igual área con lados p y q con la ayuda de tres aplicaciones de corte (las aplicaciones de corte preservan el área):

Las transformaciones de corte con sus rectas fijas asociadas (punteadas). Comenzando con el cuadrado original como primera imagen, cada paralelogramo muestra la imagen de una aplicación de corte sobre la figura situada a su izquierda