Wronskiano

Las funciones ${\displaystyle X_{1},...,X_{n}:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$ son linealmente independientes si

${\displaystyle \alpha _{1}X_{1}(t)+...+\alpha _{n}X_{n}(t)=0}$ para todo ${\displaystyle t\in [a,b]}$${\displaystyle \rightarrow \alpha _{1}=...=\alpha _{n}=0}$.

Nótese que si existe algún ${\displaystyle t\in [a,b]}$ tal que los vectores ${\displaystyle X_{1}(t),...,X_{n}(t)}$ son linealmente independientes, las funciones ${\displaystyle X_{1},...,X_{n}:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$ también lo serán. Puesto que los vectores ${\displaystyle X_{1}(t),...,X_{n}(t)}$ son linealmente independientes si y solo si ${\displaystyle W[X_{1}(t),...,X_{n}](t)\neq 0}$, si hay algún ${\displaystyle t\in [a,b]}$ para el que el wronskiano no se anule, tendremos que las funciones ${\displaystyle X_{1},...,X_{n}:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$ son linealmente independientes.

No obstante, aunque los vectores ${\displaystyle X_{1}(t),...,X_{n}(t)}$ sean linealmente dependientes para cada ${\displaystyle t\in [a,b]}$, las funciones ${\displaystyle X_{1},...,X_{n}:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$ podrían ser linealmente dependientes, como se ve en el siguiente ejemplo.

Teorema

Sean ${\displaystyle X_{1},...,X_{n}\in C^{1}([a,b];\mathbb {R} ^{n})}$ soluciones del sistema lineal homogéneo de dimensión ${\displaystyle n}$ con coeficientes continuos ${\displaystyle X'=A(t)X}$. Si hay algún ${\displaystyle t\in [a,b]}$ tal que los vectores ${\displaystyle X_{1}(t),...,X_{n}(t)}$ son linealmente dependientes, entonces las soluciones ${\displaystyle X_{1},...,X_{n}}$ son linealmente dependientes.

El resultado es consecuencia del Teorema de Picard-Lindelöf

Demostración

Sea ${\displaystyle t_{0}\in [a,b]}$ tal que ${\displaystyle X_{1}(t_{0}),...,X_{n}(t_{0})}$ son linealmente dependientes. Existen constantes ${\displaystyle \alpha _{1},...,\alpha _{n}}$, no todas ${\displaystyle 0}$, tales que ${\displaystyle \alpha _{1}X_{1}(t_{0})+...+\alpha _{n}X_{n}(t_{0})=0}$. Definimos la función auxiliar ${\displaystyle G(t)=\alpha _{1}X_{1}(t)+...+\alpha _{n}X_{n}(t)}$. Como ${\displaystyle X_{1},...,X_{n}}$ son soluciones del sistema lineal homogéneo, cualquier combinación lineal de ellas es también solución. Por tanto ${\displaystyle G(t)}$ verifica la ecuación diferencial matricial: ${\displaystyle G'=AG,\quad t\in [a,b],\quad G(t_{0})=0.}$ Por el Teorema de Existencia y Unicidad, ${\displaystyle G\equiv 0}$ es la única solución. Por consiguiente, ${\displaystyle \alpha _{1}X_{1}(t_{0})+...+\alpha _{n}X_{n}(t_{0})=0}$ para todo ${\displaystyle t\in [a,b]}$. Puesto que no todos los ${\displaystyle \alpha _{j}}$, ${\displaystyle j=1,..,n}$, son nulos, concluimos que las funciones ${\displaystyle X_{1},...,X_{n}}$ son linealmente dependientes.

Sea el sistema:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x'_{1}(t)=&f_{1}(t,x_{1},x_{2},...,x_{n}),\\x'_{2}(t)=&f_{2}(t,x_{1},x_{2},...,x_{n}),\\\vdots \\x'_{n}(t)=&f_{n}(t,x_{1},x_{2},...,x_{n}),\end{matrix}}\right.}$

para el cual se tienen soluciones: ${\displaystyle {\vec {z_{1}}}=(z_{11},z_{21},...,z_{n1}),{\vec {z_{2}}}=(z_{12},z_{22},...,z_{n2}),...,{\vec {z_{n}}}=(z_{1n},z_{2n},...,z_{nn})}$.

Se define el Wronskiano del sistema como: ${\displaystyle W({\vec {z_{1}}},{\vec {z_{2}}},...,{\vec {z_{n}}})={\begin{vmatrix}z_{11}&z_{12}&\dots &z_{1n}\\z_{21}&z_{22}&\dots &z_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\z_{n1}&z_{n2}&\dots &z_{nn}\end{vmatrix}}.}$

Sean ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ soluciones de la siguiente ecuación de orden ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle x^{(n)}(t)=a_{0}(t)+a_{1}(t)x(t)+a_{2}(t)x'(t)+\dots +a_{n-1}(t)x^{(n-1)}(t)}$.

Esta ecuación es equivalente a un sistema de ${\displaystyle n}$ ecuaciones de orden 1. Cada solución de la ecuación genera un vector que es solución del sistema. Si definimos: ${\displaystyle y_{1}=x,y_{2}=x',\dots ,y_{n}=x^{(n-1)}}$, se obtiene el sistema:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}y_{1}'=&y_{2},\\y_{2}'=&y_{3},\\\vdots &\vdots \\y_{n}'=&a_{0}(t)+a_{1}(t)y_{1}+\dots +a_{n-1}(t)y_{n}.\end{matrix}}\right.}$

Reescrito en forma matricial: ${\displaystyle {\vec {Y'}}=A{\vec {Y}}+B}$ con:

${\displaystyle {\vec {Y'}}=\left({\begin{matrix}y'_{1}\\y'_{2}\\\vdots \\y'_{n-1}\\y'_{n}\end{matrix}}\right),\quad A=\left({\begin{matrix}0&1&0&\dots &0\\0&0&1&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &1\\a_{1}&a_{2}&a_{3}&\dots &a_{n}\end{matrix}}\right),\quad {\vec {Y}}=\left({\begin{matrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n-1}\\y_{n}\end{matrix}}\right),\quad B=\left({\begin{matrix}0\\0\\\vdots \\0\\a_{0}\end{matrix}}\right)}$.

Recíprocamente si ${\displaystyle {\vec {Z}}=(z_{1},z_{2},...,z_{n})}$ es una solución del sistema, se cumple que:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}z_{2}=z'_{1},\\z_{3}=z'_{2}=z''_{1},\\\vdots \\z_{n}=z'_{n-1}=\dots =z_{1}^{(n-1)}.\end{matrix}}\right.}$

De este modo, se tendría ${\displaystyle z_{1}^{n}=z'_{n}=a_{0}(t)+a_{1}(t)z(t)+a_{2}(t)z'(t)+\dots +a_{n-1}(t)z^{(n-1)}(t)}$. Por lo tanto, si el vector ${\displaystyle {\vec {Z}}=\left({\begin{matrix}z_{1}\\z'_{1}\\\vdots \\z_{1}^{(n-1)}\end{matrix}}\right),}$ resuelve el sistema, ${\displaystyle z_{1}}$ resuelve la ecuación.

Veamos que el wronskiano de ${\displaystyle n}$ soluciones de la ecuación coincide con el wronskiano de los correspondientes ${\displaystyle n}$ vectores solución del sistema equivalente.

Para la formulación del problema como ecuación el wronskiano queda, por definición: ${\displaystyle W(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})={\begin{vmatrix}x_{1}&x_{2}&\dots &x_{n}\\x'_{1}&x'_{2}&\dots &x'_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{1}^{(n-1)}&x_{2}^{(n-1)}&\dots &x_{n}^{(n-1)}\end{vmatrix}}}$. Para la formulación como sistema, el wronskiano, agrupando los vectores solución en una matriz de tamaño ${\displaystyle n\times n}$, como: ${\displaystyle W({\vec {X_{1}}},{\vec {X_{2}}},\dots ,{\vec {X_{n}}})={\begin{vmatrix}x_{1}&x_{2}&\dots &x_{n}\\x'_{1}&x'_{2}&\dots &x'_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{1}^{(n-1)}&x_{2}^{(n-1)}&\dots &x_{n}^{(n-1)}\end{vmatrix}}}$. De esta forma observamos que es equivalente la formulación del Wronskiano de soluciones de una ecuación y la formulación del Wronskiano de soluciones del sistema asociado a dicha ecuación. ${\displaystyle W(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=W({\vec {X_{1}}},{\vec {X_{2}}},\dots ,{\vec {X_{n}}}).}$

• Considérese las funciones ${\displaystyle x^{2},}$ ${\displaystyle x,}$ y ${\displaystyle 1,}$ definidas para un número real x. Obténgase el wronskiano:

${\displaystyle W={\begin{vmatrix}x^{2}&x&1\\2x&1&0\\2&0&0\end{vmatrix}}=-2.}$

Se ve que ${\displaystyle W}$ no es cero uniforme, así que estas funciones deben ser linealmente independientes.

• Considérese las funciones ${\displaystyle 2x^{2}+3}$, ${\displaystyle x^{2}}$, y ${\displaystyle 1}$. Estas funciones son claramente dependientes, ya que ${\displaystyle 2x^{2}+3=2(x^{2})+3(1)}$. Así, el wronskiano debe ser cero, siguiendo un pequeño cálculo:

${\displaystyle W={\begin{vmatrix}2x^{2}+3&x^{2}&1\\4x&2x&0\\4&2&0\end{vmatrix}}=8x-8x=0.}$

• Como se mencionaba anteriormente, si el wronskiano es cero, esto no significa en general que las funciones involucradas son linealmente dependientes. Considerando las funciones ${\displaystyle x^{3}}$ y ${\displaystyle |x^{3}|}$; esto es, el valor absoluto de ${\displaystyle x^{3}}$. La segunda función puede ser escrita así:

${\displaystyle |x^{3}|=\left\{{\begin{matrix}-x^{3},&\mathrm {si} \;x<0\\x^{3},&\mathrm {si} \;x\geq 0\end{matrix}}\right.}$

Se puede revisar que estas dos funciones son linealmente independientes sobre el conjunto de número reales, sin embargo, su wronskiano parece ser cero:

${\displaystyle W=\left\{{\begin{matrix}{\begin{vmatrix}x^{3}&-x^{3}\\3x^{2}&-3x^{2}\end{vmatrix}}=-3x^{5}+3x^{5}=0,&\mathrm {si} \;x<0\\{\begin{vmatrix}x^{3}&x^{3}\\3x^{2}&3x^{2}\end{vmatrix}}=3x^{5}-3x^{5}=0,&\mathrm {si} \;x\geq 0\end{matrix}}\right.}$

Hay un sentido en el que el wronskiano de una ecuación diferencial lineal de orden n-ésimo es el producto exterior n-ésimo. Para implementar esa idea se debe trabajar con algunas formulaciones en las que las ecuaciones diferenciales son suficientemente parecidas a vectores en el espacio: por ejemplo en el lenguaje del fibrado vectorial llevando una conexión.

El teorema es significativamente fácil de probar por medio de su segunda declaración mencionada anteriormente, siendo: Si las funciones son linealmente dependientes sobre el intervalo, entonces lo son también las columnas de la matriz wronskiana asociada (la diferenciación es una operación lineal); consecuentemente, el determinante wronskiano es cero en todos los puntos del intervalo.

• Identidad de Abel
• Teorema de Picard-Lindelöf

• More on the Wronskian, Paul's Online Math Notes (Notas Matemáticas en Línea de Paul) (en inglés)
• Calcular un wronskiano con Sagemath
• Teschl, G. (2012). Ordinary differential equations and dynamical systems (Vol. 140). AmericanMathematical Society

1. Teschl, Gerald (2012). Ordinary differential equations and dynamical systems (en inglés). American Mathematical Society.