Énergie électromagnétique

En électromagnétisme, le champ d’induction électrique est une variable de déplacement ${\textstyle {\vec {D}}}$, qui représente la réponse du matériau à une variable d'effort qu'est le champ électrique ${\textstyle {\vec {E}}}$, lequel influe notamment sur l’organisation des charges électriques dans un matériau donné (notamment le déplacement des charges et la réorientation des dipôles électriques), mais également sur la polarisation du vide. Dans les cas simples, la réponse est proportionnelle à l'effort, à travers un coefficient de proportionnalité (tensoriel) représentant la raideur de la réponse à la sollicitation, la permittivité électrique :

${\displaystyle {\vec {D}}(x,t)=\varepsilon \,{\vec {E}}(x,t)}$.

La distribution d'énergie que représente cette réponse est alors celle d'une énergie potentielle élastique :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} E_{e}(x,t)}{\mathrm {d} V}}=\int _{0}^{1}k\,{\vec {D}}(x,t)\cdot {\vec {E}}(x,t)~\mathrm {d} k=\int _{0}^{1}k\,\varepsilon \,{\vec {E}}(x,t)^{2}~\mathrm {d} k={\frac {1}{2}}\,\varepsilon \,{\vec {E}}^{2}(x,t)}$.

De même, face à un champ magnétique ${\textstyle {\vec {B}}}$ représentant une variable d'effort, l'excitation magnétique ${\textstyle {\vec {H}}}$ est la réponse de déplacement du milieu, la raideur de la réponse étant inversement proportionnelle à la perméabilité magnétique μ. La distribution d'énergie que représente cette réponse est alors de même :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} E_{e}(x,t)}{\mathrm {d} V}}={\frac {1}{2\,\mu }}{\vec {B}}^{2}(x,t)}$.

D'après les équations de Maxwell, la densité d'énergie électromagnétique dans le vide, correspondant à l'énergie élémentaire dE_e contenue dans un volume élémentaire dV, est donc donnée par :

${\displaystyle w={\frac {\mathrm {d} E_{e}}{\mathrm {d} V}}={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{0}{\vec {E}}^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}{\vec {B}}^{2}\right)}$ [USI]

où :

• ε₀ est la permittivité électrique du vide ;
• μ₀ est la perméabilité magnétique du vide ;
• ${\textstyle {\vec {E}}}$ est le vecteur champ électrique ;
• ${\textstyle {\vec {B}}}$ est le vecteur champ magnétique.

Dans le système CGS, les unités électromagnétiques sont choisies de sorte que les deux constantes du vide s'éliminent de l'équation, qui se rapproche alors d'une équation en unités naturelles :

${\displaystyle w={\frac {1}{8\pi }}\left({\vec {E}}^{2}+{\vec {B}}^{2}\right)}$ [CGS]

Plus généralement, dans un milieu continu, la densité d'énergie électromagnétique est donnée par :

${\displaystyle w={\frac {1}{2}}\left({\vec {E}}\cdot {\vec {D}}+{\vec {B}}\cdot {\vec {H}}\right)}$

où :

• ${\displaystyle {\vec {D}}}$ est l'induction électrique ;
• ${\displaystyle {\vec {H}}}$ est l'excitation magnétique, exprimées respectivement par les relations suivantes :
  • ${\displaystyle {\vec {D}}=\varepsilon \,{\vec {E}}}$, avec ε la permittivité électrique du milieu,
  • ${\displaystyle {\vec {B}}=\mu \,{\vec {H}}}$, avec μ la perméabilité magnétique du milieu.

En considérant l'expression de la densité d'énergie électromagnétique dans le vide (où ε = ε₀ et μ = μ₀), on retrouve l'expression donnée plus haut pour le cas dans le vide.

La dérivée partielle de la densité d'énergie par rapport au temps est alors obtenue en différenciant l'équation précédente par rapport au temps. Compte tenu par ailleurs des équations de Maxwell, qui expriment notamment la variation des champs électriques et magnétiques au cours du temps, le théorème de Poynting montre que la variation d'énergie électromagnétique dans un volume élémentaire est alors donnée par :

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {\varepsilon _{0}\,E^{2}}{2}}+{\frac {B^{2}}{2\,\mu _{0}}}\right)=-{\vec {\nabla }}\cdot \left({\frac {{\vec {E}}\wedge {\vec {B}}}{\mu _{0}}}\right)-{\vec {j}}\cdot {\vec {E}}}$

où ${\textstyle {\vec {j}}}$ représente la densité volumique de courant.

Dans le cas d'un champ magnétique variable dans une région dépourvue de particules chargées, le courant est nul, et le théorème de flux-divergence montre que le flux d'énergie est nécessairement nul à travers toute surface contenant la direction de ${\textstyle {\vec {E}}\wedge {\vec {B}}}$. Autrement dit, le flux d'énergie ne se propage que dans une direction orthogonale à la fois au champ électrique et au champ magnétique : le champ électromagnétique prend la forme d'une onde électromagnétique se propageant dans la direction du vecteur de Poynting, et la densité de flux est effectivement donnée par ce vecteur :

${\displaystyle {\vec {\Pi }}={\frac {{\vec {E}}\wedge {\vec {B}}}{\mu _{0}}}}$.

Dans le cas d'une onde électromagnétique, l'énergie électromagnétique se déplace. Le flux d'énergie emporté par ce champ peut être calculée à partir du carré de l'amplitude de l'onde électromagnétique. Le vecteur de Poynting exprime comment une onde électromagnétique peut échanger de l'énergie électromagnétique en l'absence de courants.

Ce type de phénomène se produit dans les ondes électromagnétiques, telles que les ondes radio, radar, micro-ondes, la lumière, les rayons X et gamma : toutes ces ondes électromagnétiques transportent de l'énergie.

En mécanique relativiste, masse et énergie sont équivalents, ce qui implique que tout système ayant une énergie (et notamment, une énergie électromagnétique) doit avoir une inertie.

Le rayon classique de l'électron peut se calculer de la façon suivante : supposons que l'électron soit par lui-même sans masse autre que celle due à son énergie électromagnétique, et que la charge de l'électron soit distribuée uniformément dans un volume sphérique. Dans ce cas, pour un électron au repos par rapport à l'observateur il n'y a pas de champ magnétique, et l'énergie totale créée par le champ électrostatique de cette sphère est donnée par :

${\displaystyle E_{e}^{(e^{-})}=\iiint _{(V)}{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}{\vec {E}}^{2}~\mathrm {d} V=\int _{r_{e}}^{\infty }{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\left({\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right)^{2}{\frac {e^{2}}{r^{4}}}\ (4\pi r^{2})~\mathrm {d} r={\frac {e^{2}}{8\pi \varepsilon _{0}r_{e}}}=m_{e}c^{2}}$.

En égalant l'avant dernier terme à la masse inerte relativiste, on trouve la valeur correspondante pour le « rayon classique de l'électron » :

r_e ≈ 2,818 × 10⁻¹⁵ m.

Une autre manière de faire le calcul est de remarquer que puisque les parties du volume se repoussent, la sphère contient une énergie potentielle électrostatique. Supposons que cette énergie est égale à l'énergie au repos E définie par la relation relativiste :

E = m c²

où :

• m est la masse au repos ;
• c la vitesse de la lumière dans le vide.

En électrostatique, l'énergie potentielle d'une sphère de rayon r et de charge e est donnée par : ${\displaystyle E={\frac {e^{2}}{8\,\pi \,\varepsilon _{0}\,r}}}$, où ε₀ est la permittivité du vide. En égalant ces deux valeurs, on obtient la valeur de r[1].

En théorie quantique des champs, l'énergie d'un état de l'espace-temps quantique dans lequel se trouve un champ électromagnétique prend a priori la forme d'un opérateur hamiltonien, formé à partir d'opérateurs de champs quantiques. La forme précise de cet opérateur hamiltonien peut être obtenue en quantifiant la densité de champ décrite par un lagrangien classique. Pour un champ électromagnétique, cette densité est donnée en fonction du tenseur de champ électromagnétique et les champs électriques et magnétiques (en unités CGS) par:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}={\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {E} ^{2}-\mathbf {B} ^{2}\right)}$.

En quantifiant l'expression précédente par les moyens classiques de quantification, on obtient l'expression quantique de l'opérateur hamiltonien. Il faut tout d'abord réécrire le tenseur du champ électromagnétique sous forme de potentiel vecteur, puis réécrire ce potentiel vecteur en termes de création et de destruction de photons, ce résultat étant intégré sur toutes les valeurs possibles du moment du photon et sommé sur les deux hélicités possibles du photon, pour trouver l'expression quantique de l'opérateur hamiltonien :

${\displaystyle {\hat {H}}_{0}={\frac {1}{2}}\int _{V}:{\hat {\mathbf {E} }}^{2}+{\hat {\mathbf {B} }}^{2}:\ dV={\frac {1}{2}}\int _{V}:{\dot {\hat {\mathbf {A} }}}^{2}+(\nabla \times {\hat {\mathbf {A} }})^{2}:\ dV=\int _{\mathbb {R} ^{3}}\omega _{k}\left(\sum _{\lambda =1}^{2}{\hat {\mathbf {a} }}_{\mathbf {k} \lambda }^{\dagger }{\hat {\mathbf {a} }}_{\mathbf {k} \lambda }\right)dk_{x}dk_{y}dk_{z}}$.

Ici, l'expression sommée entre parenthèses est l'opérateur numérique qui comptabilise le nombre de photons d'impulsion k et d'hélicité λ. On trouve ainsi que l'énergie du champ électromagnétique est proportionnelle au nombre de photons et à la fréquence de ceux-ci.

Le concept d'impédance permet d'appliquer au régime sinusoïdal les formules utilisées en régime continu, tout en intégrant l'effet d'éléments capacitifs et inductifs.

Un guide d'ondes est un système physique qui sert à guider les ondes électromagnétiques ou les ondes acoustiques, pour les maintenir confinées dans un milieu particulier, sur une certaine distance.

L’effet de peau est un phénomène électromagnétique qui fait que, à fréquence élevée, le courant a tendance à ne circuler qu'en surface des conducteurs. Ce phénomène d'origine électromagnétique existe pour tous les conducteurs parcourus par des courants alternatifs. Il provoque la décroissance de la densité de courant à mesure que l'on s'éloigne de la périphérie du conducteur. Il en résulte une augmentation de la résistance du conducteur.

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