Action d'Einstein-Hilbert
L'action d'Einstein-Hilbert, ainsi désignée en l'honneur d'Albert Einstein et David Hilbert, est un objet mathématique homogène à une action. Elle est utilisée pour dériver les équations du champ de la relativité générale d'Einstein au moyen d'un principe variationnel appelé principe de moindre action.
Expression
L'action d'Einstein-Hilbert, notée , est donnée par[1],[2] :
où :
- est la courbure scalaire de Ricci, définie comme la trace du tenseur de Ricci : [3],
- est le déterminant du tenseur métrique : ,
- est la vitesse de la lumière dans le vide,
- est la constante de Newton pour la gravitation,
- est le nombre pi,
- est la constante d'Einstein pour la gravitation : [4].
La dimension de l'action d'Einstein-Hilbert est, par définition, celle d'une action : [5].
L'équation aux dimensions est obtenue en considérant que le tenseur métrique est une grandeur sans dimension : [6],[5]. Il en résulte que la dimension du tenseur de Ricci est celle de l'inverse du carré d'une longueur : [6]. Il en résulte que la courbure de Ricci a la même dimension [6]. D'autre part, la dimension de est celle d'un volume à quatre dimensions : [5].
Dérivation des équations d'Einstein
Supposons que notre théorie ne contienne que l'action d'Einstein-Hilbert ainsi qu'un terme décrivant n'importe quel champ de matière. L'action totale est donc :
.
La variation de l'action par rapport à l'inverse de la métrique doit être nulle pour les solutions, donnant l'équation :
- .
Puisque cette équation tient pour toute variation , cela implique que
est l'équation du mouvement pour la métrique. Le membre de droite de l'équation est (par définition) proportionnel au tenseur énergie-impulsion,
.
pour calculer le membre de gauche de l'équation, nous avons besoin des variations du scalaire de Ricci et du déterminant de la métrique. Elles peuvent être calculées de façon élémentaire comme donné ci-dessous, méthode qui est principalement inspirée de Carroll 2004.
Variation du tenseur de Riemann, du tenseur de Ricci et du scalaire de Ricci
Pour calculer la variation de la courbure de Ricci, on commence par calculer la variation du tenseur de Riemann, puis du tenseur de Ricci. Rappelons que le tenseur de Riemann est localement défini par
- .
Puisque le tenseur de Riemann ne dépend que des symboles de Christoffel , sa variation peut être calculée comme
- .
Maintenant, puisque est la différence de deux connexions, il s'agit d'un tenseur, dont on peut calculer la dérivée covariante,
- .
Nous pouvons alors observer que la variation du tenseur de Riemann ci-dessus est exactement égale à la différence de deux tels termes,
- .
On peut désormais obtenir la variation du tenseur de Ricci simplement en contractant deux indices dans l'expression de la variation du tenseur de Riemann, et nous obtenons alors l'identité de Palatini:
- .
La courbure de Ricci est alors définie comme
- .
Par conséquent, sa variation par rapport à l'inverse de la métrique est donnée par
Dans la seconde ligne, nous avons utilisé la compatibilité de la métrique avec la connexion , et le résultat obtenu précédemment sur la variation du tenseur de Ricci.
Le dernier terme,
- , i.e. with ,
multiplié par , devient une [dérivée totale], puisque pour tout vecteur et toute densité de tenseur nous avons:
- or
et ainsi par le théorème de Stokes il ne reste d'un terme de bord après intégration. Le terme ne bord n'est en général pas nul, puisque l'intégrande ne dépend pas seulement de mais aussi de ses dérivées partielles ; voir l'article termes de bord de Gibbons–Hawking–York pour plus de détails. Néanmoins, lorsque la variation de la métrique varie dans le voisinage du bord ou lorsqu'il n'y a pas de bords, ce terme ne contribue pas à la variation de l'action. Ainsi, nous obtenons
.
en dehors des bords.
Variation du déterminant
On rappelle la différentielle du déterminant
- ,
que l'on peut calculer par exemple via la formule explicite du déterminant et d'un développement limité [8]
. Grâce à ce résultat, nous obtenons
Dans la dernière égalité, nous avons utilisé le fait que
qui suit de la différentielle de l'inverse d'une matrice
- .
Ainsi, nous concluons que
.
Équation du mouvement
Maintenant, nous avons toutes les variations nécessaire pour obtenir l'équation du mouvement. On insère les équations calculées dans l'équation du mouvement pour la métrique pour obtenir
,
qui est l'équation d'Einstein, et
a été choisi de sorte à obtenir la limite non-relativiste souhaitée: la loi universelle de la gravitation de Newton, où est la constante gravitationnelle.
Notes et références
- Bambi 2018, chap. 7, § 7.3, (7.24) et (7.25), p. 128.
- Maggiore 2018, chap. 13, § 13.2, (13.10), p. 192.
- Taillet, Villain et Febvre 2018, s.v. courbure de Ricci, p. [173], col. 2.
- Bambi 2018, chap. 7, § 7.2 (7.19), p. 127.
- Hübsch 2015, chap. 9, sect. 9.2, § 9.2.2, p. 327.
- Harko et Lobo 2018, part. I, chap. 3, sect. 3.1, indrod., p. 39.
- Ferrari, Gualtieri et Pani 2020, chap. 7, sect. 7.4, introd., n. 3, p. 129.
- Différentielle du déterminant (lire en ligne)
Voir aussi
Bibliographie
- [Bambi 2018] (en) Cosimo Bambi, Introduction to general relativity : a course for undergraduate students of physics, Singapour, Springer, coll. « Undergraduate lecture notes in physics », (réimpr. 2020), 1re éd., XVI-335 p., 24 cm (ISBN 978-981-13-1089-8, EAN 9789811310898, OCLC 1049559215, DOI 10.1007/978-981-13-1090-4, SUDOC 229495745, présentation en ligne, lire en ligne).
- Carroll, Sean M. (Dec, 1997). Lecture Notes on General Relativity, NSF-ITP-97-147, 231pp, arXiv:gr-qc/9712019
- [Ferrari, Gualtieri et Pani 2020] (en) Valeria Ferrari, Leonardo Gualtieri et Paolo Pani, General relativity and its applications : black holes, compact stars and gravitational waves, Boca Raton, CRC, hors coll., , 1re éd., XVIII-475 p., 25,4 cm (ISBN 978-1-138-58977-3 et 978-0-367-62532-0, EAN 9781138589773, OCLC 1247682853, DOI 10.1201/9780429491405, SUDOC 255050844, présentation en ligne, lire en ligne).
- [Harko et Lobo 2018] (en) Tiberiu Harko et Francisco S. N. Lobo, Extensions of f (R) gravity : curvature-matter couplings and hybrid metric-Palatini theory, Cambridge, CUP, coll. « Cambridge monographs on mathematical physics », , 1re éd., XVII-456 p., 24,5 cm (ISBN 978-1-108-42874-3, EAN 9781108428743, OCLC 1042212796, DOI doi.org/10.1017/9781108645683, présentation en ligne, lire en ligne).
- [Hübsch 2015] (en) Tristan Hübsch, Advanced concepts in particle and field theory, Cambridge, CUP, hors coll., , 1re éd., XV-563 p., 25,3 cm (ISBN 978-1-107-09748-3, EAN 9781107097483, OCLC 935796660, DOI 10.1017/CBO9781316160725, Bibcode 2015acpf.book.....H, SUDOC 200553526, présentation en ligne, lire en ligne).
- [Maggiore 2018] (en) Michele Maggiore, Gravitational waves, t. 2 : Astrophysics and cosmology, Oxford, OUP, hors coll., , 1re éd., XIV-820 p., 24,6 cm (ISBN 978-0-19-857089-9, EAN 9780198570899, OCLC 1030746535, BNF 45338294, DOI 10.1093/oso/9780198570899.001.0001, SUDOC 225716968, présentation en ligne, lire en ligne).
- [Taillet, Villain et Febvre 2018] Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur, hors coll., , 4e éd. (1re éd. mai 2008), X-956 p., 24 cm (ISBN 978-2-8073-0744-5, EAN 9782807307445, OCLC 1022951339, BNF 45646901, SUDOC 224228161, présentation en ligne, lire en ligne).
Articles connexes
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