Algèbre de Kac-Moody

Une algèbre de Kac-Moody est déterminée comme suit :

1. Une matrice de Cartan généralisée de taille ${\displaystyle n\times n}$, ${\displaystyle C=(c_{ij})}$ de rang r.
2. Un espace vectoriel ${\displaystyle {\mathfrak {E}}}$ sur ${\displaystyle \mathbb {C} }$ de dimension 2n - r.
3. Un ensemble de n vecteurs libres ${\displaystyle \alpha _{i}}$ de ${\displaystyle {\mathfrak {E}}}$ et un ensemble de n vecteurs libres ${\displaystyle \alpha _{i}^{*}}$ de l'espace dual associé à ${\displaystyle {\mathfrak {E}}}$, tel que ${\displaystyle \forall {i,j}\in (\{1\cdots \ n\})^{2}}$, ${\displaystyle \alpha _{i}^{*}(\alpha _{j})=c_{ij}}$. Les ${\displaystyle \alpha _{i}}$ sont appelés coracines, tandis que les ${\displaystyle \alpha _{i}^{*}}$ sont appelés racines.

L'algèbre de Kac-Moody est l'algèbre de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ définie par les vecteurs générateurs ${\displaystyle e_{i}}$ et ${\displaystyle f_{i}}$ et les éléments de ${\displaystyle {\mathfrak {E}}}$ ainsi que les relations :

• ${\displaystyle [e_{i},f_{i}]=\alpha _{i}\ }$
• ${\displaystyle \forall {i}\neq j,[e_{i},f_{j}]=0}$
• ${\displaystyle \forall {x}\in {\mathfrak {E}},[e_{i},x]=\alpha _{i}^{*}(x)e_{i}}$
• ${\displaystyle \forall {x}\in {\mathfrak {E}},[f_{i},x]=-\alpha _{i}^{*}(x)f_{i}}$
• ${\displaystyle \forall {x,x'}\in {\mathfrak {E}},[x,x']=0}$
• ${\displaystyle {\textrm {ad}}(e_{i})^{1-c_{ij}}(e_{j})=0}$
• ${\displaystyle {\textrm {ad}}(f_{i})^{1-c_{ij}}(f_{j})=0}$

Où ${\displaystyle {\textrm {ad}}:{\mathfrak {g}}\to {\textrm {gl}}({\mathfrak {g}}),{\textrm {ad}}(x)(y)=[x,y]}$ est la représentation adjointe de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

Une algèbre de Lie (de dimension infinie ou non) sur le corps des réels est également considérée comme une algèbre de Kac-Moody si sa complexifiée est une algèbre de Kac-Moody.

Soit ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ une sous-algèbre de Cartan (en) de l'algèbre de Kac-Moody.

Si g est un élément de l'algèbre de Kac-Moody tel que ${\displaystyle \forall {x}\in {\mathfrak {h}},[g,x]=\omega (x)g}$, où ${\displaystyle \omega }$ est un élément de ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$, alors on dit que g a un poids ${\displaystyle \omega }$. L'algèbre de Kac-Moody peut être diagonalisée en vecteurs propres de poids. La sous-algèbre de Cartan ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ a un poids nul, ${\displaystyle e_{i}}$ a un poids ${\displaystyle \alpha _{i}^{*}}$ et ${\displaystyle f_{i}}$ a un poids ${\displaystyle -\alpha _{i}^{*}}$. Si le crochet de Lie de deux vecteurs propres est non nul, alors son poids est la somme de leurs poids. La condition ${\displaystyle [e_{i},f_{j}]=0\ \forall {i}\neq {j}}$ signifie simplement que les ${\displaystyle \alpha _{i}^{*}}$ sont des racines simples.

La matrice de Cartan associée à l'algèbre de Kac-Moody ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ peut être décomposée comme produit de deux matrices D et S où D est une matrice diagonale positive et S une matrice symétrique. La nature de S détermine le type de l'algèbre de Kac-Moody dont il est question :

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ est une algèbre de Lie simple de dimension finie si S est définie positive
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ est affine si S est semi-définie positive de corang 1

Il existe aussi une autre classe d'algèbre de Kac Moody appelée algèbres hyperboliques. S ne peut jamais être définie négative ou semi-définie négative puisque ses coefficients diagonaux sont positifs.

Ces types d'algèbres de Kac Moody sont également caractérisés par leurs diagrammes de Dynkin :

• on connait la liste exacte des diagrammes de Dynkin correspondant aux algèbres de Lie simples
• lorsque tout sous diagramme du diagramme de Dynkin de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ est le diagramme d'une algèbre de Lie simple, alors ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ est affine
• lorsque tout sous diagramme du diagramme de Dynkin de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ est le diagramme d'une algèbre affine, alors ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ est hyperbolique

Les algèbres affines sont les mieux connues des algèbres de Kac-Moody.

• (en) A. J. Wassermann, Kac-Moody and Virasoro Algebras, arXiv:1004.1287
• (en) Victor G. Kac, Infinite dimensional Lie algebras, CUP, 1994, 3^e éd., 400 p. (ISBN 978-0-521-46693-6, présentation en ligne)
• (en) « Kac–Moody algebra », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)
• (en) V. G. Kac, « Simple irreducible graded Lie algebras of finite growth », Math. USSR Izv., 2^e série,‎ 1968, p. 1271-1311, Izv. Akad. Nauk USSR Ser. Mat., vol. 32, 1968, p. 1923-1967
• (en) R. V. Moody, « A new class of Lie algebras », J. of Algebra, vol. 10,‎ 1968, p. 211-230

• Algèbre de Kac-Moody généralisée (en)
• Formule des caractères de Weyl (en)

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