Analyse de sensibilité

L'analyse de sensibilité peut être utile pour beaucoup d'applications[4]:

• Tester la robustesse d'un modèle ou d'un système en présence d'incertitude.
• Une meilleure compréhension des relations entre l'entrée et la sortie des variables dans un système ou d'un modèle.
• La réduction d'incertitude, à travers l'identification des entrées du modèle qui causent une incertitude importante dans la production et devraient donc être le centre de l'attention.
• La recherche d'erreurs dans le modèle (par la rencontre inattendue des relations entre les entrées et les sorties).
• La simplification du modèle, en fixant les entrées qui n'ont pas d'effet sur la sortie, ou en identifiant et en supprimant les parties redondantes de la structure du modèle.
• L'amélioration de la communication entre modélisateurs et décideurs (par exemple en formulant des recommandations plus crédibles, compréhensibles, irrésistibles ou de persuasion).
• Trouver des régions dans l'espace des entrées pour lesquelles la sortie du modèle est maximale ou minimale, ou répond à un certain critère d'optimalité (voir optimisation et méthode de Monte Carlo).
• Pour la calibration des modèles avec un grand nombre de paramètres, une analyse de sensibilité peut faciliter le réglage des paramètres en se concentrant sur les paramètres sensibles. Sans connaître la sensibilité des paramètres, beaucoup de temps et d'effort peuvent être gaspillés pour régler des paramètres peu sensibles[5].
• Chercher à identifier les liens importants entre les observations, les entrées du modèle, et des prédictions ou des prévisions, conduisant à l'élaboration de meilleurs modèles[6]^,[7].

L'objet d'étude de l'analyse de sensibilité est une fonction ${\displaystyle f}$, (appelée "modèle mathématique" ou "code"). Elle peut être vue comme une boîte noire dont on ne connaît que sa sortie ${\displaystyle Y}$. Ses entrées sont notées ${\displaystyle X_{1},...,X_{p}}$. Il s'agit de paramètres de la boîte noire qui ont un impact sur la sortie du système.

$${\displaystyle Y=f(X)}$$

avec ${\displaystyle X=(X_{1},...,X_{p})}$.

Le moyen le plus simple et le plus commun d'étudier la sensibilité des entrées est de les modifier une par une ("One-At-a-Time" : OAT), les autres restant fixées à une valeur nominale. On voit alors l'effet que cela produit sur la sortie[17]^,[18]^,[19]. La méthode OAT  implique habituellement de :

• Déplacer une variable d'entrée, laissant les autres à une valeur de référence (nominale)
• Puis remettre la variable d'entrée à sa valeur nominale ; puis à faire ainsi pour chacune des autres entrées de la même manière.

La sensibilité peut ensuite être mesurée par la surveillance des changements dans la sortie, par exemple, par les dérivées partielles ou de régression linéaire. Cela semble logique que tout changement observé dans la sortie peut être attribué sans ambiguïté à la seule variable changée. En outre, en modifiant une variable à la fois, on peut garder toutes les autres variables fixes à leur centrale ou de valeurs de référence. Cela accroît la comparabilité des résultats (tous les "effets" sont calculés en référence au même point "central" dans l'espace des entrées). La méthode OAT est souvent préférée par les modélisateurs pour des raisons pratiques. Lorsque le modèle ne converge pas lors d'une analyse OAT, le modélisateur sait immédiatement qui est le paramètre responsable de l'échec.

Cependant, malgré sa simplicité, cette approche ne permet pas d'explorer totalement l'espace des entrées. En effet, elle ne tient pas compte de la variation simultanée de variables d'entrée. Cela signifie que la méthode OAT ne peut pas détecter la présence d'interactions entre les variables d'entrée[20]. De plus, le choix de la valeur nominale et de l'échantillonnage peuvent poser problème. Par exemple, sur le modèle ${\displaystyle Y=\sin(X_{1})\cos(X_{2})}$avec la valeur nominale ${\displaystyle (0,0)}$, l'influence de ${\displaystyle X_{2}}$ sera invisible par une méthode OAT.

Les méthodes locales impliquent de prendre la dérivée partielle de la sortie Y par rapport à une entrée X_i:

${\displaystyle \left\vert {\frac {\partial Y}{\partial X_{i}}}\right\vert _{{\bf {x}}^{0}}}$

où l'indice ${\displaystyle {\bf {x}}^{0}}$ indique que la dérivée est prise à un point fixe dans l'espace des entrées (d'où l'adjectif "local"). Modélisation adjointe[21]^,[22] et Différenciation automatisée[23] sont les méthodes de ce type. Semblables à OAT, les méthodes locales n'essaient pas d'explorer l'espace des entrées. Elles examinent seulement les petites perturbations, généralement une variable à la fois.

Un outil simple mais utile est de tracer des nuages de points de la variable de sortie en fonction de variables d'entrée, après que le modèle a été évalué sur un échantillon aléatoire (respectant les distributions des entrées). L'avantage de cette approche est qu'elle s'applique aussi à des données. Elle donne aussi une indication visuelle directe de la sensibilité.

L'analyse par régression, dans le contexte de l'analyse de sensibilité, consiste à utiliser les coefficients de régression standardisés comme des mesures directes de la sensibilité. La régression doit être linéaire par rapport aux données. Sinon il est difficile d'interpréter les coefficients standardisés. Cette méthode est donc plus appropriée lorsque le modèle de réponse est en fait linéaire ; la linéarité peut être confirmée, par exemple, si le coefficient de détermination est grand. Les avantages de l'analyse par régression sont qu'elle est simple et a un faible coût de calcul.

Les méthodes basées sur la décomposition de variance[24]^,[25]^,[26] considèrent les entrées comme des variables aléatoires et s'intéressent seulement à la variance de la sortie. Celle-ci est décomposée en termes attribuables à une entrée ou à un groupe d'entrées. Les indices de sensibilité calculés sont les indices de Sobol : ils représentent la proportion de variance expliquée par une entrée ou un groupe d'entrées.

Pour l'entrée ${\displaystyle X_{i}}$, l'indice de Sobol simple est donné par :

$${\displaystyle S_{i}={\frac {V(\mathbb {E} [Y\vert X_{i}])}{V(Y)}}}$$

où ${\displaystyle V(\cdot )}$ et ${\displaystyle \mathbb {E} [\cdot ]}$ désignent la variance et l'espérance (ou moyenne pondérée). L'indice de Sobol simple ne prend pas en compte l'incertitude causée par les interactions de ${\displaystyle X_{i}}$ avec les autres variables. Pour inclure toutes les interactions dans lesquelles ${\displaystyle X_{i}}$ est impliquée on utilise l'indice de Sobol total :

$${\displaystyle S_{i}^{T}=1-{\frac {V(\mathbb {E} [Y\vert X_{\sim i}])}{V(Y)}}}$$

où ${\displaystyle X_{\sim i}=(X_{1},...,X_{i-1},X_{i+1},...,X_{p})}$.

Les méthodes basées sur la décomposition de variance permettent d'explorer complètement l'espace des entrées et de prendre en compte les interactions ainsi que les réponses non linéaires. Pour ces raisons, elles sont largement utilisées. Le calcul des indices de Sobol nécessite de nombreuses évaluations du modèle (de l'ordre du millier). Plusieurs estimateurs existent[27]^,[28]^,[29]. On recourt généralement à des méta-modèles (émulateurs) pour rendre possible le calcul.

Les méthodes de "screening" s'appliquent à des modèles de grande dimension pour lesquels on veut distinguer rapidement quelles entrées sont significatives, sans chercher l'exhaustivité. Il s'agit d'observer l'effet de perturbations élémentaires des entrées sur les sorties. La méthode de Morris[30] est une des plus connues.

Le principe est d'approcher une fonction par des harmoniques en utilisant la transformation de Fourier. Les indices de Sobol sont alors exprimés analytiquement en fonction des coefficients de la série de Fourier[10].

Le principe est de projeter la fonction d'intérêt sur une base de polynômes orthogonaux. Les indices de Sobol sont alors exprimés analytiquement en fonction des coefficients de cette décomposition[31].