Analyse des correspondances multiples

Soient ${\displaystyle I}$ individus décrits par ${\displaystyle J}$ variables qualitatives telles que la première variable prend les modalités ${\displaystyle \{1,2,...,K_{1}\}}$, la deuxième variable prend les modalités ${\displaystyle \{K_{1}+1,K_{1}+2,...,K_{1}+K_{2}\}}$, et ainsi de suite. Soient ${\displaystyle K=\sum _{j}K_{j}}$ et ${\displaystyle \{1,2,...,K\}}$ les ${\displaystyle K}$ modalités possibles. Le tableau disjonctif complet à ${\displaystyle I}$ lignes et ${\displaystyle K}$ colonnes, noté ${\displaystyle X}$, est tel que l’intersection de la ligne ${\displaystyle i}$ et de la colonne ${\displaystyle k}$ (associée à la modalité ${\displaystyle k}$) est égale à

• 1 si l’individu ${\displaystyle i}$ possède la modalité ${\displaystyle k}$ ;
• 0 sinon.

Il est possible d'inclure une variable quantitative dans l'analyse, à condition de remplacer ses valeurs numériques en plage de valeur, afin de la convertir en variable catégorielle.

Le traitement mathématique[3]^,[2] du tableau ${\displaystyle X}$ est le suivant :

• Calcul de la matrice ${\displaystyle Z=X/(IK)}$;
• Calcul du vecteur ${\displaystyle r}$, qui contient la somme en ligne de la matrice ${\displaystyle Z}$ (${\displaystyle r}$ pour "row" en anglais) ;
• Calcul du vecteur ${\displaystyle c}$, qui contient la somme en colonne de la matrice ${\displaystyle Z}$.

Sont aussi prises en compte les matrices diagonales ${\displaystyle D_{r}={\text{diag}}(r)}$ et ${\displaystyle D_{c}={\text{diag}}(c)}$, issues de ${\displaystyle r}$ et ${\displaystyle c}$ respectivement. L'étape clé est une décomposition en valeurs singulières de la matrice suivante :

${\displaystyle M=D_{r}^{-1/2}(Z-rc^{t})D_{c}^{-1/2}}$

La décomposition de ${\displaystyle M}$ donne accès aux matrices ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle \Delta }$ et ${\displaystyle Q}$ telles que ${\displaystyle M=P\Delta Q^{t}}$, avec ${\displaystyle P}$ et ${\displaystyle Q}$ deux matrices unitaires, et ${\displaystyle \Delta }$ est la matrice diagonale généralisée de mêmes dimensions que ${\displaystyle Z}$, contenant les valeurs singulières ordonnées de la plus grande à la plus petite. Les coefficients diagonaux de ${\displaystyle \Delta ^{2}}$ sont les valeurs propres de ${\displaystyle Z}$ et correspondent à l'inertie de chacun des facteurs. Ces facteurs sont les coordonnées des individus (ligne) ou variables (colonne) sur chacun des axes factoriels. Les coordonnées des individus dans ce nouvel espace vectoriel sont données par la formule suivante:

${\displaystyle F=D_{r}^{-1/2}P\Delta }$

La ${\displaystyle i}$-ième ligne de ${\displaystyle F}$ contient les coordonnées du ${\displaystyle i}$-ième individu dans l'espace factoriel, tandis que les coordonnées des variables dans le même espace factoriel sont données par :

${\displaystyle G=D_{c}^{-1/2}Q\Delta ^{t}}$

L'ACM est une méthode très générale qui s'applique à tout tableau dans lequel un ensemble d'individus est décrit par des variables qualitatives. Elle n'appartient donc pas à un champ disciplinaire particulier. Toutefois, elle est très utilisée dans le traitement des enquêtes d'opinion, les questionnaires étant souvent composés de questions à choix multiples.

Une mention particulière doit être faite à la sociologie. L'ACM est très utilisée par les sociologues s'inspirant de Pierre Bourdieu pour étudier un « champ » spécifique. Par exemple, le sociologue Frédéric Lebaron emploie une ACM pour analyser le champ des économistes français[4], et Hjellbrekke et ses coauteurs appliquent la même méthode pour analyser le champ des élites norvégiennes[5]. De même, Julien Duval utilise une ACM pour analyser le champ du cinéma français[6], tandis que Christian Baudelot et Michel Gollac utilisent une analyse des correspondances multiples pour étudier le rapport des Français à leur travail[7].

Comme toute analyse factorielle, l’ACM peut s’interpréter géométriquement à partir d’un nuage dont les points représentent les lignes (ou les colonnes) du tableau analysé[8].

Exemple

L'exemple présenté ici est choisi de très petite taille, ce qui permet de vérifier facilement dans les données les interprétations réalisées à partir des plans factoriels (cf. tableau 1).

Six individus sont interrogés sur leur préférence pour les fruits (orange, poire, pomme), les légumes (épinard, haricot), et la viande (cheval, mouton, porc).

Tableau 1. Données préférences alimentaires. Exemple: l'individu 1 a préféré la pomme (comme fruit), le haricot (comme légume) et le cheval (comme viande).

	Fruit	Légume	Viande
${\displaystyle i_{1}}$	Pomme	Haricot	Cheval
${\displaystyle i_{2}}$	Poire	Haricot	Cheval
${\displaystyle i_{3}}$	Orange	Haricot	Mouton
${\displaystyle i_{4}}$	Pomme	Épinard	Mouton
${\displaystyle i_{5}}$	Poire	Épinard	Porc
${\displaystyle i_{6}}$	Orange	Épinard	Porc

Appliquée au tableau 1, l'ACM fournit la représentation de la figure 1.

Figure 1. Données préférences alimentaires. ACM. Représentation des individus et des modalités (fournie par le package R FactoMineR[9]).

Le premier axe oppose le groupe d’individus ${\displaystyle \{i_{1},i_{2}\}}$ (à droite) au groupe ${\displaystyle \{i_{5},i_{6}\}}$ (à gauche).

Le groupe d’individus ${\displaystyle \{i_{1},i_{2}\}}$ est caractérisé :

• D’abord et surtout par une préférence pour la viande de cheval (ce sont les seuls dans ce cas) ;
• Puis par une préférence pour les haricots (préférence qu’ils partagent tous les deux mais qu’ils partagent aussi avec ${\displaystyle i_{3}}$).

De son côté le groupe ${\displaystyle \{i_{5},i_{6}\}}$ est caractérisé :

• D’abord et surtout par une préférence pour la viande de porc (ce sont les seuls dans ce cas) ;
• Puis par une préférence pour les épinards (préférence qu’ils partagent tous les deux mais qu’ils partagent aussi avec ${\displaystyle i_{4}}$).

Illustration des relations de transition

L’individu ${\displaystyle i_{2}}$ a préféré poire, haricot et cheval. Il se trouve bien du côté de ces trois modalités. Par rapport au centre de gravité exact de ces modalités, il est un peu plus écarté de l’origine : en effet, le coefficient mentionné dans les relations de transition est toujours supérieur à 1.

La modalité cheval a été choisie par ${\displaystyle i_{1}}$ et ${\displaystyle i_{2}}$. Elle est donc du côté de ces individus. Par rapport au centre de gravité de ${\displaystyle i_{1}}$ et ${\displaystyle i_{2}}$, elle est légèrement excentrée (pour la même raison que dans le cas précédent).

Figure 2. Données préférences alimentaires. ACM. Représentation des variables (carré des liaisons) fournie par le package R FactoMineR[9].

Dans le carré des liaisons, les variables sont représentées à l’aide de leur rapport de corrélation avec les facteurs. Ainsi, dans l’exemple, ce carré montre que :

• le premier axe est d’abord lié à la viande, puis au légume ;
• le deuxième axe, quant à lui, est lié également à la viande et au fruit.

Cette représentation est d’autant plus utile que les variables sont nombreuses.

Lorsqu'un programme d’AFC est mis en place sur un tableau disjonctif complet ou sur un tableau de Burt, ce sont les axes de l’ACM qui sont obtenus. C’est ce qui conduit certains auteurs à considérer l’ACM comme un cas particulier (ou une extension) de l’AFC. En outre, les axes de l’ACM peuvent aussi être obtenus en appliquant un programme d’ACP au TDC (légèrement modifié)[10].

Cependant, l’ACM possède plusieurs propriétés spécifiques qui en font bien une méthode à part entière.

Très souvent, dans les enquêtes d'opinion, les questionnaires sont structurés en thèmes. Il est toujours intéressant de prendre en compte cette structure en groupes des questions. C'est ce que fait l'Analyse factorielle multiple[11].