Réflexion totale

On rappelle la loi de Snell-Descartes pour la réfraction :

${\displaystyle n_{1}\cdot \sin(\theta _{1})=n_{2}\cdot \sin(\theta _{2})}$

où ${\displaystyle n_{1}}$ et ${\displaystyle n_{2}}$ sont les indices respectifs des milieux 1 et 2 et ${\displaystyle \theta _{1}}$ et ${\displaystyle \theta _{2}}$ les angles formés avec la normale par respectivement le rayon incident et le rayon réfracté.

On en déduit l'expression ${\displaystyle \sin(\theta _{2})={\frac {n_{1}}{n_{2}}}\cdot \sin(\theta _{1})}$

Cette équation possède une solution en ${\displaystyle \theta _{2}}$ si et seulement si le membre de droite est compris entre -1 et +1. On peut donc constater que pour ${\displaystyle n_{1}<n_{2}}$, cette équation possède toujours une solution en ${\displaystyle \theta _{2}}$, c'est-à-dire que pour ${\displaystyle n_{1}<n_{2}}$, il existe toujours un rayon réfracté et il n'y a jamais réflexion totale.

Dans le cas ${\displaystyle n_{1}>n_{2}}$, l'expression ${\displaystyle {\frac {n_{1}}{n_{2}}}\cdot \sin(\theta _{1})}$ peut prendre des valeurs en dehors de l'intervalle [-1,1] : il n'y a alors pas de rayon réfracté et la réflexion est totale.

La valeur de ${\displaystyle \theta _{2}}$ limite est la valeur pour laquelle ${\displaystyle {\frac {n_{1}}{n_{2}}}\cdot \sin(\theta _{1})=1}$, et de cette équation on déduit alors l'angle d'incidence ${\displaystyle \theta _{1}}$ limite correspondant : ${\displaystyle \theta _{l}=\arcsin \left({\frac {n_{2}}{n_{1}}}\right)}$

On peut aussi aborder le problème selon une autre approche (qui est en fait équivalente) : à la traversée d'un dioptre d'un indice grand vers un indice plus petit, le rayon réfracté s'écarte de la normale. Plus l'angle d'incidence va être grand, plus le rayon réfracté va s'écarter de la normale, jusqu'à se trouver dans le plan du dioptre. On a alors atteint une limite, à laquelle ${\displaystyle \theta _{2}={\frac {\pi }{2}}}$. Le rayon réfracté se propageant alors parallèlement au dioptre, on considère que la lumière n'est plus transmise dans le milieu 2. On retrouve ainsi la valeur obtenue avec le premier raisonnement grâce à ${\displaystyle \sin(\theta _{l})={\frac {n_{2}}{n_{1}}}\sin({\frac {\pi }{2}})={\frac {n_{2}}{n_{1}}}}$.

On considère un rayon se propageant dans un milieu d'indice n, par exemple du verre, et rencontrant un dioptre séparant ce milieu de l'air ou du vide.

Le champ électrique s'écrit alors

${\displaystyle {\overrightarrow {E_{inc}}}=E_{0}{\overrightarrow {e_{y}}}exp(i\alpha x-i\gamma _{1}z-i\omega t)}$

avec ${\displaystyle \alpha =nk\sin {\theta _{i}}}$ et ${\displaystyle \gamma _{1}=(n^{2}k^{2}-\alpha ^{2})^{1/2}}$ , ${\displaystyle Re(\gamma _{1})>0}$ et ${\displaystyle Im(\gamma _{2})>0}$ .

Pour une onde se propageant dans le verre, ${\displaystyle \gamma _{1}=nk\cos {\theta _{i}}}$.

Le champ électrique du rayon dans le milieu 2, ici le vide, vérifie

${\displaystyle {\overrightarrow {E_{2}}}=tE_{0}{\overrightarrow {e_{y}}}exp(i\alpha x-i\gamma _{2}z-i\omega t)}$

avec ${\displaystyle \gamma _{2}=(k^{2}-\alpha ^{2})^{1/2}}$ , ${\displaystyle Re(\gamma _{1})>0}$ et ${\displaystyle Im(\gamma _{2})>0}$.

En incidence oblique, le facteur de transmission de Fresnel vaut ${\displaystyle t={\frac {2\gamma _{1}}{\gamma _{1}+\gamma _{2}}}}$.

On se place par exemple dans le cas où n=1,5 et ${\displaystyle \theta _{i}=\pi /4}$, on a alors ${\displaystyle n^{2}\sin ^{2}\theta _{i}>1}$, de sorte de ${\displaystyle \gamma _{2}}$ est imaginaire pur, et s'écrit ${\displaystyle \gamma _{2}=ik{\sqrt {n^{2}\sin ^{2}\theta _{i}-1}}=iIm(\gamma _{2})}$

Le champ dans le milieu 2 est alors de la forme :

${\displaystyle {\overrightarrow {E_{2}}}=tE_{0}{\overrightarrow {e_{y}}}exp(i\alpha x-i\omega t)exp[Im(\gamma _{2}z)]}$

.

On a ainsi une décroissance exponentielle du champ dans la direction z : c'est une onde évanescente. Le facteur de réflexion à l’interface verre-vide vaut ${\displaystyle r={\frac {\gamma _{1}-\gamma _{2}}{\gamma _{1}+\gamma _{2}}}}$.

Ici ${\displaystyle \gamma _{1}}$ est réel et ${\displaystyle \gamma _{2}}$ est imaginaire pur, de sorte que ${\displaystyle \mid r\mid =1}$ : c'est bien un phénomène de réflexion totale.

On remarque cependant que le champ transmis dans le vide n'est pas nul, mais qu'il décroit de manière exponentielle.