Base (arithmétique)

Certaines bases sont couramment employées :

• la base deux (système binaire), en électronique numérique et informatique ;
• la base trois (système trinaire), dans les mêmes domaines, bien que moins fréquemment ;
• la base huit (système octal), en informatique ; elle a été utilisée par les Yukis^{[réf. souhaitée]} ;
• la base neuf (système nonaire), davantage à l'échelle humaine que la base 3 ;
• la base dix (système décimal), la plus commune, aujourd'hui la référence dans le domaine des sciences ;
• la base douze (système duodécimal), de manière embryonnaire, a été utilisée par les Égyptiens pour le compte en heures et mois ;
• la base seize (système hexadécimal), en informatique, facilitant les conversions en base deux en regroupant des chiffres binaires, 16 étant une puissance de 2 ;
• la base vingt (système vigésimal) a été utilisée par les Mayas et les Aztèques, ainsi que de manière alternative en France (dont on garde un héritage dans « quatre-vingts ») ;
• la base soixante (système sexagésimal), dans la mesure du temps et des angles, a été utilisée par les Sumériens, les Akkadiens, puis les Babyloniens (voir l'article « numération babylonienne ») ;
• la base soixante-quatre, utilisée en informatique par l'encodage Base64; celui-ci permet de représenter des informations binaires en texte imprimable. Il est notamment utilisé pour transférer des données binaires sur un canal de communication pensé pour des données textuelles, tel que l'e-mail, le code HTML des pages web ou les feuilles de style CSS.
• la base cent cinquante ou base indienne, utilisée notamment dans la table astronomique appelée Table indienne d'Al-Khwârizmî[1].

De nombreuses bases sont, et ont été, aussi utilisées par différents peuples ; consulter « Numération » pour plus de détails.

Bien que peu utilisée, la base trente a l'intérêt d'exprimer simplement le résultat de la majorité des petites fractions (à dénominateurs de la forme 2^p.3^q.5^r) et factorielles. De plus, à la différence de la base soixante, elle peut être représentée à l'aide des dix chiffres usuels et des vingt premières lettres de l'alphabet.

Pour des applications spécifiques, l'informatique peut utiliser des bases ad hoc : pour un entier représenté par une chaîne d'octets, on peut considérer un octet comme un chiffre en base 256 ; on peut voir un identificateur comme un nombre en base 40 ; pour des applications décimales, on peut avoir avantage à utiliser une base 1000.

Une base b utilise b chiffres.

Pour les bases jusqu'à dix inclus, on utilise les chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.

Pour les bases N avec ${\displaystyle 11\leqslant N\leqslant 36}$, on utilise les 10 chiffres puis les lettres (capitales). Par exemple, pour la base 16, les symboles utilisés sont 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Pour la base 36, on utilise les symboles 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O,P,Q,R,S,T,U,V,W,X,Y,Z

Pour n'importe quelle base, et spécifiquement celles de N > 36, on utilise une notation plus conventionnelle avec N chiffres. Par exemple, en base soixante, on utilise les chiffres {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,..., 59}. Par exemple, ${\displaystyle 5112_{10}={[1;25;12]_{60}}}$car 1 × 60${\displaystyle ^{2}}$ + 25 × 60 + 12 ; ce nombre est composé de trois chiffres : 1, 25 et 12.

Les systèmes de numération étant positionnels, dans un nombre k = ${\displaystyle c_{n}...c_{2}c_{1}c_{0}}$ en base b (où ${\displaystyle c_{i}}$ sont les chiffres permettant de l'écrire), les chiffres ont une valeur selon leur position ${\displaystyle c_{1}b^{0}}$ pour ${\displaystyle c_{1},c_{2}b}$ pour ${\displaystyle c_{2},c_{3}b^{2}}$ pour ${\displaystyle c_{3}}$ et ${\displaystyle c_{n}b^{n-1}}$ pour ${\displaystyle c_{n}}$.

L'usage du zéro positionnel est une convention pratique et élégante, mais non nécessaire pour représenter les entiers naturels, comme l'illustre le système décimal sans zéro. Il est, par contre, indispensable pour généraliser l'écriture positionnelle aux nombres fractionnaires.

La notation mathématique est ${\displaystyle k_{b}}$, où k désigne un réel quelconque et b en indice est la valeur de la base. Par exemple 100111₂ pour le nombre dont le développement en base 2 est 100111, ou encore 172₈ pour le nombre dont le développement en base 8 est 172.

En plus de cette notation, il en existe d'autres, notamment employées en informatique.

• Base 8 : on peut indiquer le nombre avec un zéro au début. Par exemple 0157 pour 157₈.
• Base 16 : on peut indiquer de diverses manières qu'un nombre est en hexadécimal (voir tableau ci-dessous). Une autre écriture courante est l'ajout du suffixe « h » à la fin du nombre, ce qui avec notre exemple donne AE4Fh.

Un nombre dans une base donnée s'écrit sous la forme d'additions des puissances successives de cette base.

La puissance correspond au rang du chiffre moins un. Un entier k en base b possède n chiffres ${\displaystyle c_{n}...c_{2}c_{1}c_{0}}$. ${\displaystyle c_{0}}$ représente le chiffre des unités (soit ${\displaystyle c_{0}\times b^{0}}$), ${\displaystyle c_{1}}$le chiffre des b-aines, ${\displaystyle c_{1}\times b^{1}}$...)

• Le nombre ${\displaystyle c_{n}...c_{2}c_{1}c_{0}}$ en base ${\displaystyle b}$, constitué des chiffres ${\displaystyle c_{n}}$, ..., ${\displaystyle c_{2}}$, ${\displaystyle c_{1}}$, ${\displaystyle c_{0}}$, peut aussi s'écrire sous la forme ${\displaystyle c_{n}b^{n}+...+c_{2}b^{2}+c_{1}b^{1}+c_{0}b^{0}}$.

Ainsi, un nombre exprimé en base b par les quatre chiffres 1101 se développe de cette façon :

${\displaystyle 1\times b^{3}+1\times b^{2}+0\times b^{1}+1\times b^{0}}$, qui donne, selon la base :

Valeur de b	Expression en base b	Forme développée	Expression en base dix
b = 10	${\displaystyle 1101}$	${\displaystyle 1\times 10^{3}+1\times 10^{2}+0\times 10^{1}+1\times 10^{0}}$	${\displaystyle =1101}$
b = 8	${\displaystyle {\overline {1101}}{}_{8}}$	${\displaystyle 1\times 8^{3}+1\times 8^{2}+0\times 8^{1}+1\times 8^{0}}$	${\displaystyle =577}$
b = 2	${\displaystyle {\overline {1101}}{}_{2}}$	${\displaystyle 1\times 2^{3}+1\times 2^{2}+0\times 2^{1}+1\times 2^{0}}$	${\displaystyle =13}$

On remarque que la signification des représentations 10, 100, 1000, etc., dépend de la base utilisée : l'écriture « 10 » est égale à dix en base dix, mais deux en base deux ou trois en base trois.

Lorsqu'on veut passer d'une base à une autre, on utilisera deux méthodes (algorithmes), suivant que l'on sait calculer dans la base de départ ou dans la base d'arrivée.

function convert (n, b_d, b_a) {	// La fonction prend en argument le nombre n à convertir, b_d la base de ce nombre, et b_a la base dans laquelle on veut le convertir
	var symbol = ['0', '1', '2', '3', '4', '5', '6', '7', '8', '9', 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G', 'H', 'I', 'J', 'K', 'L', 'M', 'N', 'O', 'P', 'Q', 'R', 'S', 'T', 'U', 'V', 'W', 'X', 'Y', 'Z'],
	// Cette liste a pour rôle de stocker les chiffres des bases par ordre croissant.
		res = '';		// Le nombre à renvoyer, sous forme de chaîne de caractère

	n = parseInt(String(n), b_d); 	// On convertit le nombre en base décimale. Au-delà il ne pourrait être divisé.

	while (n) {			// Tant qu'il y a un reste non nul
		res = symbol[n % b_a] + res;		// On incrémente le nombre à renvoyer, par le reste du nombre et de la base
		n = Math.floor(n / b_a);		// Le nombre est arrondi
	}

	return res;			// Le résultat est renvoyé
}

def convert_horner(num, base=16):
    sym = ['0', '1', '2', '3', '4', '5', '6', '7',
           '8', '9', 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F']
    r = 0
    for n in num:
        r = r * base + sym.index(n)
    return r

Un système numérique de base 2N ou 2N + 1 peut également être doté des 2N + 1 chiffres signés N,..., 2, 1, 0, 1, 2,..., N. On parle alors de système balancé ou symétrique.

On peut également employer des bases :

• négatives, pour lesquelles les nombres sont signés mais pas les chiffres ;
• non entières, on parle alors de bêta-numération (la base d'or en est un exemple) ;
• imaginaires ou autres bases complexes (en) (par exemple, le système quater-imaginaire, dans lequel tout nombre complexe peut se développer, est une généralisation aux complexes du développement binaire) ;
• mixtes, pour lesquels la base varie d'une position à une autre.
• doubles, utilisant deux entiers premiers entre eux, la base double la plus courante étant la base {2,3}.

• Zéro s'écrit 0 dans toutes les bases.
• De la même manière, le nombre un s'écrit 1 dans toutes les bases, puisque quelle que soit la base, base⁰ égale 1.
• L'égalité « ${\displaystyle 121=11^{2}}$ » est vraie dans toutes les bases naturelles strictement supérieures à 2.
• En base dix, un nombre est pair s'il se termine par un multiple de 2, c'est-à-dire 0, 2, 4, 6 ou 8 ; en base 2, il est pair s'il se termine par 0. Inversement, en base dix, un nombre est impair s'il se termine par un chiffre impair, soit 1, 3, 5, 7 ou 9, et en base deux s'il se termine par 1. Cette propriété peut s'étendre à toutes les bases paires.
• L'alternance des chiffres 0 et 1 en binaire se fait avec les chiffres 5 ou A en hexadécimal.

555₁₆ = 010101010101₂

AAA₁₆ = 101010101010₂.

• Pour plusieurs nombres s'écrivant de la même façon dans des bases naturelles différentes, le plus grand est celui dans la plus grande base, à condition que cette écriture ait plusieurs chiffres.

57₁₆ (=87₁₀) > 57₁₀ > 57₈ (=47₁₀)

7₁₀ = 7₈.

• De même, un grand nombre aura besoin de moins de chiffres pour s'écrire dans une grande base naturelle que dans une petite.

F4240₁₆ (5 chiffres) = 1 000 000₁₀ (7 chiffres) = 1111 0100 0010 0100 0000₂ (20 chiffres).

• 10_n < 1 si la base n appartient à l'intervalle ]0, 1[, 10₁ = 1, et 10_n > 1 si la base n appartient à l'intervalle ]1, +∞[[2].
• La base s'écrit ${\displaystyle 10}$ dans toutes les bases. 10₂ = 2, 10₁₆ = 16, 10₆₀ = 60.
• En base N, un nombre est divisible par N – 1 (resp. par un diviseur d de N – 1) si la somme de ses chiffres est divisible par N – 1 (resp. par d) (exemple connu : la divisibilité par 3 ou par 9 en base dix).

• Boby Lapointe avait imaginé un usage comique du système hexadécimal, qu'il avait baptisé Système Bibi-binaire. Ce système présentait l'avantage de rendre les nombres binaires faciles à prononcer et à mémoriser.
• La RFC 1924[3] propose la base 85 pour la notation des adresses IPv6, mais ce n'est qu'un poisson d'avril.
• Dans le jeu vidéo Portal, lors du combat final, GLaDOS annonce que 2 + 2 font 10, avant de se rattraper en complétant par « … en base 4 ! tout va bien. »
• Les Shadoks comptent en quaternaire.

• Arithmétique et théorie des nombres