Base d'or

Tout nombre ayant une représentation phinaire finie composée de 0 et de 1 possède également un développement phinaire standard obtenu en chassant successivement les couples 11, par la gauche, en remplaçant 11_φ par 100_φ

Exemple : 110101,1101_φ = 1000101,1101_φ = 1000110,0101_φ = 1001000,0101_φ.

Dans une représentation phinaire standard, il est possible de remplacer un chiffre 1 par un chiffre 0, ou un chiffre 0 par un chiffre 1 tout en conservant une représentation phinaire non standard ne comportant que des 0 et de 1.

• Pour remplacer un chiffre 1 par un chiffre 0, on regarde la série de chiffres situés à droite de 1 :
  • la série [1]00, peut se remplacer par [0]11 ;
  • la série [1]0101...0100 peut se remplacer par [0]1111...1111.
• Pour remplacer un chiffre 0 par un chiffre 1, on regarde la série de chiffres situés à gauche de 0 :
  • la série 1000...[0] comportant un nombre pair de 0 peut se remplacer par 0101..1[1] ;
  • la série 10...[0] comportant un nombre impair de 0, demande un traitement plus spécial : il faut commencer par mettre un 0 à droite du 0 à modifier puis on remplace la série ..1000...[0] 0 par 0101..[1]1.

Ces deux techniques offrent un moyen simple d'ajouter ou retrancher une puissance de φ à un nombre écrit en représentation standard en passant provisoirement en représentation non standard.

• Exemple d'ajout : 10[1]001_φ + 1000_φ = 10[0]111_φ + 1000_φ = 101111_φ = 110011_φ = 1000011_φ = 1000100_φ.
• Exemple de retrait : 1[0]010_φ − 1000_φ = 0[1]110_φ − 1000_φ = 110_φ = 1000_φ.

Elles permettent de montrer que l'ensemble des nombres possédant une représentation phinaire standard finie est stable par addition et par soustraction.

Bergman[5] utilise la technique de remplacement de 1 par 0 pour démontrer successivement que chaque entier strictement positif possède un développement phinaire fini et déterminer les développements des premiers entiers

Décomposition (standard) des dix premiers entiers

Entier	Calculs intermédiaires	Ecriture standard	Puissances de ${\displaystyle \varphi \,}$
1		1	${\displaystyle \varphi ^{0}\,}$
2	0,11+1=1,11	10,01	${\displaystyle \varphi ^{1}+\varphi ^{-2}\,}$
3	11,01	100,01	${\displaystyle \varphi ^{2}+\varphi ^{-2}\,}$
4		101,01	${\displaystyle \varphi ^{2}+\varphi ^{0}+\varphi ^{-2}\,}$
5	100,1111+1=101,1111	1000,1001	${\displaystyle \varphi ^{3}+\varphi ^{-1}+\varphi ^{-4}\,}$
6	1001,1001	1010,0001	${\displaystyle \varphi ^{3}+\varphi ^{1}+\varphi ^{-4}\,}$
7	1011,0001	10000,0001	${\displaystyle \varphi ^{4}+\varphi ^{-4}\,}$
8		10001,0001	${\displaystyle \varphi ^{4}+\varphi ^{0}+\varphi ^{-4}\,}$
9	10000,1101 + 1= 10001,1101	10010,0101	${\displaystyle \varphi ^{4}+\varphi ^{1}+\varphi ^{-2}+\varphi ^{-4}\,}$
10	10011,0101	10100,0101	${\displaystyle \varphi ^{4}+\varphi ^{2}+\varphi ^{-2}+\varphi ^{-4}\,}$

Une multiplication par φ consistant seulement à décaler tous les chiffres d'un cran vers la gauche, tout nombre s'écrivant bφ où b est un entier strictement positif possède aussi un développement phinaire fini.

La stabilité par addition et soustraction prouve que tout nombre strictement positif s'écrivant a + bφ , avec a et b entiers relatifs, possède un développement phinaire standard fini. Tout élément de ℤ[φ], c'est-à-dire tout entier de ℚ(√5) possède donc un développement phinaire standard fini.

Comme, d'autre part, on peut démontrer que, pour tout entier relatif n, φⁿ = F_n–1 + F_nφ, où (F_n) désigne la suite de Fibonacci généralisée aux indices négatifs, toute puissance de φ est élément de ℤ[φ], et tout nombre possédant un développement phinaire standard fini est élément de ℤ[φ].

Les nombres possédant un développement phinaire standard fini sont donc les éléments strictement positifs de ℤ[φ].

On peut en outre démontrer^{[réf. nécessaire]} que ce développement phinaire standard fini est unique.

Les techniques de substitutions décrites précédemment permettent, dans une addition, d'éviter d'ajouter deux chiffres 1 dans une même colonne, ou d'avoir à soustraire 1 dans une colonne où figure un 0. Par exemple

• 2 + 3 = 10,01 + 100,01 = 10,01 + 100,0011 = 110,0111 = 1000,1001 ;
• 7 – 2 = 10000,0001 – 10,01 = 1100,0001 – 10,01 = 1011,0001 – 10,01 = 1010,1101 – 10,01 = 1000,1001.

Mais on peut également utiliser un développement phinaire intermédiaire non standard utilisant des 2 et des –1 (notés 1) que l'on transformera ensuite sous forme standard en utilisant les techniques

• 010_φ = 101_φ ;
• 0200_φ = 1001_φ.

Pour l'addition de deux nombres en base φ, il suffit d'ajouter chaque paire de chiffres, sans retenue, puis de convertir le nombre en forme standard. Pour la soustraction, on déduit chaque paire de chiffres sans retenue, puis on convertit le nombre en forme standard. Pour la multiplication, on peut multiplier de façon habituelle, sans retenue, puis convertir le nombre en forme standard.

Par exemple :

• 2 + 3 = 10,01 + 100,01 = 110,02 = 110,1001 = 1000,1001 ;
• 2 × 3 = 10,01 × 100,01 = 1000,1 + 1,0001 = 1001,1001 = 1010,0001 ;
• 7 − 2 = 10000,0001 − 10,01 = 10010,0101 = 1110,0101 = 1001,0101 = 1000,1001.

Bergman propose une méthode pas à pas décrite ci-dessus pour déterminer les développements phinaires des entiers de 1 à N mais fait aussi remarquer que les techniques opératoires décrites ci-dessus offrent des moyens d'arriver plus rapidement au résultat.

Exemple : 70 = 10 × 7 = 10100,0101_φ × 10000,0001_φ = 101000101_φ +1,01000101_φ= 101000101_φ +0,11110101_φ= 101000101,11110101_φ=101001000,10010101_φ

Il existe également un algorithme glouton pour trouver le développement phinaire de N (dans la suite on notera E(x) la partie entière de x et {x} sa partie fractionnaire ou décimale) :

• on cherche l'entier n tel que φⁿ ≤ N < φⁿ⁺¹ ; on pose alors a_n = 1 et R_n = {N/φⁿ} ;
• pour tout i inférieur ou égal à n, on pose a_i-1 = E(φR_i) et R_i-1 = {φR_i}.

Cet algorithme est équivalent à celui consistant à ôter à N la plus grande puissance de φ inférieure à N et à recommencer sur le nombre obtenu. On peut démontrer que cet algorithme s'arrête si N est un entier[6]^{[source insuffisante]}.

La procédure ci-dessus ne donnera jamais la suite « 11 », puisque 11φ = 100φ, donc obtenir un « 11 » signifie que l'on a manqué un « 1 » auparavant.

On peut enfin se servir des nombres de Lucas (L_n). Pour un entier N supérieur à 3, on cherche le plus grand entier k tel que L_k ≤ N, puis on recommence le processus sur N – L_k tant que le nombre obtenu est supérieur à 3. On écrit ainsi N comme somme de nombres de Lucas. Comme L_k = φ^k + (–φ)^–k, on obtient un développement phinaire non standard comportant des 1 et des –1 séparés par des 0, développement qu'il suffit de standardiser.

Exemple : 70 = 47 + 18 + 4 + 1 = L₈ + L₆ + L₃ + L₁ = 101001010,10100101 = 101001000,10010101.

Dans une écriture phinaire finie, formée de 0 et de 1, le nombre de 1 indique le nombre de puissances de φ utilisées pour écrire le nombre en question. L'écriture phinaire standard est celle qui minimise le nombre de 1[4].

La suite qui donne, pour chaque entier N, le nombre de puissances de φ nécessaires à son écriture est la suite A055778 de l'OEIS. On suppose, sans l'avoir encore démontré que ce nombre est toujours supérieur ou égal au nombre de termes de la représentation de Zeckendorf de N.

L'algorithme glouton précédent appliqué à un réel positif quelconque fournit un développement phinaire standard éventuellement illimité, pour tout réel x positif.

Réciproquement, tout développement phinaire converge vers un réel car la somme des termes pour les indices négatifs correspond à une série dont le terme général, positif, est inférieur ou égal à (1/φ)^k, terme général d'une série convergente.

Comme pour le développement décimal où le développement de 0,99999… converge vers le nombre 1, on observe que tout développement phinaire qui se conclut par une alternance infinie de 0 et de 1 converge vers un nombre qui possède également un développement phinaire fini. Ce phénomène provient du fait que 0,1010101…_φ = 1. Il existe plusieurs manières de justifier cette affirmation :

• en convertissant 1 vers une forme non standard : ${\displaystyle 1=0,11_{\varphi }=0,1011_{\varphi }=0,101011_{\varphi }=\ldots =0,10101010\ldots _{\varphi }}$ ;
• en utilisant une série géométrique : ${\displaystyle 1,0101010\ldots _{\varphi }=\sum _{k=0}^{\infty }\varphi ^{-2k}={\frac {1}{1-\varphi ^{-2}}}=\varphi }$ ;
• en effectuant la différence entre deux « déplacements » : ${\displaystyle \varphi ^{2}x-x=10,101010\ldots _{\varphi }-0,101010\ldots _{\varphi }=10_{\varphi }=\varphi }$ c'est-à-dire ${\displaystyle x=\varphi /(\varphi ^{2}-1)=1}$.

Il est possible de diviser un entier a par un entier b écrits tous deux en base d'or en utilisant la méthode de la division longue. Les quotients successifs étant de 0 ou 1, le travail consiste seulement à savoir effectuer des soustractions.

Exemple : division de 100_φ par 1001_φ

Ici, on obtient le même reste ; la division se poursuit indéfiniment et le quotient de 100_φ par 1001_φ est 0,01001001001..._φ.

Puisqu'il existe un nombre fini de restes possibles, le quotient d'un entier a par un entier b a un développement phinaire fini (si le quotient est entier) ou périodique.

De même, comme tout élément positif du corps ℚ(√5) — égal à ℚ(φ) — est le quotient d'un élément de ℤ[φ] (de développement fini) par un entier (de développement fini), il est de développement fini ou périodique.

Réciproquement, tout développement périodique correspond à un élément de ℚ(√5). En effet, si la période est de longueur k et commence à l'indice j, le réel en question s'écrit

${\displaystyle x=A+B\varphi ^{j-k+1}(1+\varphi ^{-k}+\varphi ^{-2k}+\dots )=A+{\frac {B\varphi ^{j-k+1}}{1-\varphi ^{-k}}}}$

où A et B sont à développements finis. Il s'agit de sommes, produits et quotients d'éléments de ℚ(√5). Le réel x est bien élément de ℚ(√5).