Anneau des entiers de Q(√5)

De φ² = φ + 1, on déduit que :

• (par récurrence) toute puissance de φ appartient à Z[φ] — voir plus bas : § Suite de Fibonacci — donc toute fonction polynomiale de φ à coefficients entiers également ;
• le sous-ensemble Z[φ] du corps ℝ des nombres réels est donc le sous-anneau engendré par Z ∪ {φ} (ce qui rend légitime de le noter ainsi).

En tant que sous-anneau de ℝ, l'anneau Z[φ] est commutatif, intègre et totalement ordonné (donc de caractéristique nulle).

On aurait pu imaginer (pour mieux imiter les entiers de Gauss, par exemple) d’étudier les nombres, apparemment plus simples, de la forme u + v √5, avec u et v des entiers. Ils forment l’ensemble noté Z[√5], qui est aussi un sous-anneau du corps des nombres réels (le nombre √5 est solution de l’équation quadratique x² – 5 = 0 et les mêmes raisonnements s’appliquent). Ce sous-anneau est inclus dans Z[φ] : en effet,

${\displaystyle u+v{\sqrt {5}}=(u-v)+(2v)\varphi .}$

Cette inclusion de Z[√5] dans Z[φ] est stricte car d'après la formule ci-dessus, les seuls éléments a + bφ de Z[φ] qui appartiennent au sous-anneau Z[√5] sont ceux pour lesquels l'entier b est pair.

En fait, si les propriétés algébriques des deux ensembles sont analogues (ce sont des anneaux pour les mêmes opérations), Z[√5] est trop petit, comme on le verra, pour y faire confortablement de l’arithmétique. Comprendre quels étaient les bons ensembles de nombres à prendre en compte est une des difficultés rencontrées par les mathématiciens du XIX^e siècle.

La « suite » (F_n) (indexée par ℤ) des entiers de Fibonacci, définie par

${\displaystyle F_{0}=0,\quad F_{1}=1\quad {\rm {et}}\quad \forall n\in \mathbb {Z} \quad F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n},}$

vérifie :

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {Z} \quad \varphi ^{n}=F_{n-1}+F_{n}\varphi .}$

L'ensemble des réels de la forme a + bφ avec a et b rationnels ou, ce qui revient au même, de la forme u + v √5 avec u et v rationnels, est — de même que Z[φ] et Z[√5] étaient des sous-anneaux — une Q-sous-algèbre de ℝ. Puisque √5 est irrationnel, l'écriture d'un élément de cet ensemble sous la forme u + v √5 avec u et v rationnels est unique, ou encore : ce nombre n'est nul que si u = v = 0. Autrement dit : (1, √5) est une base de ce Q-sous-espace vectoriel, et de même pour (1, φ). (Ceci généralise — donc justifie — l'unicité précédemment admise dans le cas de coordonnées entières.)

Cet ensemble est de plus stable par inverses car si u et v sont rationnels et non tous deux nuls alors u² – 5v² est un rationnel non nul et 1/(u + v √5) = (u – v √5)/(u² – 5v²). Par conséquent, c'est non seulement un sous-anneau mais un sous-corps de ℝ. On le note Q(√5).

Comme Q(√5) est le plus petit sous-corps de ℝ contenant Q et √5 (ou Q et φ), il s'identifie au corps des fractions de Z[√5] et de Z[φ]. On peut se demander comment, inversement, récupérer ces anneaux directement à partir de Q(√5). C’est la notion d'entier algébrique qui le permet — au moins pour Z[φ], qui va donc apparaître comme plus naturellement attaché à Q(√5).

Comme Q(√5) est un corps quadratique, tous ses éléments sont algébriques de degré 1 ou 2 : si α = u + v √5 alors (α – u)² – 5v² = 0. L'élément α est entier si et seulement si les rationnels 2u et u² – 5v² sont des entiers (relatifs). On en déduit (voir « Entier quadratique ») :

L'anneau Z[φ] est donc intégralement clos, si bien que Z[√5], qui a même corps des fractions mais est strictement plus petit, ne l'est pas. Par conséquent, Z[√5] n'est pas un anneau à PGCD (et a fortiori pas factoriel), contrairement à Z[φ] qui — voir plus bas — est même euclidien. En fait, Z[√5] ne vérifie même pas le lemme d'Euclide, c'est-à-dire qu'il possède des éléments irréductibles non premiers[3]. Par exemple, 2 est irréductible dans Z[√5] (et même dans Z[φ] : cf. § « Détermination des éléments irréductibles de Z[φ] » plus bas). Cependant, dans Z[√5], 2 n'est pas premier : il divise le produit (1 + √5)(1 – √5) = –2² mais ne divise aucun des deux facteurs. Ce problème disparaît dans Z[φ], qui contient (1 + √5)/2 = φ et (1 – √5)/2 = 1 – φ. La définition des entiers, qui autorise ici le dénominateur 2, est donc ce qui leur garantit les meilleures propriétés. Plusieurs auteurs se penchèrent sur ces problèmes au cours du xix^e siècle, mais c'est Richard Dedekind qui donna une présentation complète de la notion d'entier algébrique, dans les suppléments à son édition des cours de Dirichlet, en 1871[4].

Le discriminant de Z[φ], égal à 5, est le plus petit discriminant d’un corps quadratique réel[5].

La conjugaison σ dans Q(√5) (intervertissant √5 et son opposé) est un automorphisme (involutif) du corps Q(√5) qui laisse stable Z[φ], en intervertissant φ et son élément conjugué φ' = (1 – √5)/2 = –1/φ = 1 – φ. Par restriction, on obtient ainsi :

Théorème et définition — L'application σ, de Z[φ] dans lui-même, définie par${\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {Z} \quad \sigma (a+b\varphi )=a+b\varphi ',}$est un automorphisme d'anneau, appelé « application conjuguée »^{[réf. nécessaire]}.

Une fois encore, la situation est un peu analogue à celle des nombres complexes. Pour ceux-ci, l'application module est très utile : à un nombre, elle associe la racine carrée du produit de lui-même et de son conjugué. Comme, dans le cas qui nous intéresse, le produit correspondant n’est pas toujours positif, on évite en général de prendre la racine carrée et l'on définit plutôt :

Définition — La norme d'un élément α de Q(√5) est le produit ασ(α), c'est-à-dire que pour tous rationnels u, v, a, b,

${\displaystyle {\text{si }}\alpha =u+v{\sqrt {5}}=a+b\varphi ,\quad N(\alpha )=u^{2}-5v^{2}={\frac {(2a+b)^{2}-5b^{2}}{4}}=a^{2}+ab-b^{2}.}$

C'est donc un rationnel, et même un entier relatif si α appartient à Z[φ]. Par exemple, la norme de √5 est égale à –5 et la norme de φ est égale à –1.

En effet, 4N(α) est un carré modulo 5.

La norme possède une propriété clé plus générale (cf. articles détaillés) :

Traduite dans la base (1, √5), on retrouve le cas n = 5 de l'identité de Brahmagupta :

${\displaystyle (u^{2}-5v^{2})(r^{2}-5s^{2})=(ur+5vs)^{2}-5(us+vr)^{2}.}$

Pour qu’un nombre α ait un inverse, il faut donc que sa norme soit égale à 1 ou -1. Ces nombres sont donc tels que :

N(α) = a² + ab – b² = 1, ou

N(α) = a² + ab – b² = -1

Ces équations ont des solutions entières lorsque 5a²+4 ou 5a²-4 sont des carrés. N(α) = ±1 est une condition suffisante pour que α soit inversible, son inverse étant son conjugué (si N(α) = 1) ou l’opposé de son conjugué (si N(α) = -1).

Par exemple :

φ a pour inverse -1+φ = -φ' ; car N(φ) = -1 et φ(-1+φ) = 1

5-3φ a pour inverse 2+3φ = 5-3φ' ; car N(5-3φ) = 1 et (5-3φ)(2+3φ) = 1

Tout produit de nombres inversibles est lui-même inversible ; notamment, toute puissance de φ possède un inverse. L’ensemble des nombres inversibles de Z[φ] constitue un groupe commutatif pour la multiplication, appelé groupe des unités (cf section suivante).

La norme permet de définir une division euclidienne. Cette norme n'est pas toujours positive. Le stathme v, c’est-à-dire la fonction permettant d’évaluer le reste de la division — de même que la valeur absolue dans le cas des entiers relatifs — ne doit prendre que des valeurs positives. Pour cette raison, on le choisit égal à la valeur absolue de la norme. On montre alors que 5 fait partie, comme –1, des 21 valeurs de d pour lesquelles l'anneau des entiers de Q(√d) est euclidien pour v :

Soit α et β deux éléments de Z[φ], β étant non nul, alors il existe au moins un couple (θ, ρ) d'éléments de Z[φ] tel que :

${\displaystyle \alpha =\beta \theta +\rho \quad {\rm {avec}}\quad |N(\rho )|<|N(\beta )|.}$

Ceci montre qu'il existe une division euclidienne dans l'anneau Z[φ]. Elle possède un aspect un peu déroutant, au sens où il n’y a pas d’unicité stricte, comme dans le cas usuel. Le nombre des possibilités est en effet lié au groupe des unités. Cette situation n’est en fait pas très différente de celle des entiers relatifs où la division euclidienne n’est définie qu’au signe près, c’est-à-dire à une unité près.

Un nombre premier de Z n'est pas toujours irréductible dans Z[φ]. Par exemple : 5 = (√5)², ou encore : 11 = 4² – 5 = (4 + √5)(4 – √5).

La classification des idéaux premiers de l'anneau des entiers de Q(√d) pour d quelconque (cf. article détaillé), appliquée ici à d = 5, indique que :

Les éléments irréductibles de Z[φ] sont :

• les nombres premiers de Z de la forme 5n + 2 ou 5n – 2 et leurs associés,
• les éléments dont la norme est égale, au signe près, à 5 ou à un nombre premier de Z de la forme 5n + 1 ou 5n – 1.

De plus, dans le second cas p = |πσ(π)|, le seul p pour lequel π et σ(π) sont associés est p = 5.

On peut le redémontrer en remarquant d'abord que (d'après les propriétés générales de la norme sur un anneau d'entiers quadratiques) les irréductibles de Z[φ] s'obtiennent en décomposant dans cet anneau les nombres premiers usuels, et pour un tel entier naturel premier p, il n'y a que deux possibilités :

• ou bien p reste irréductible dans Z[φ],
• ou bien p = |N(π)| = ±πσ(π) pour un certain élément π de Z[φ], qui est alors irréductible.

Il reste à vérifier que ces deux cas correspondent aux congruences annoncées[10] et que 5 est le seul nombre premier « ramifié dans Q(√5) ».

Le petit théorème de Fermat pour tout corps de nombres s'applique en particulier à tout corps quadratique, donc à ℚ(√5) :

Soient π un élément irréductible de Z[φ] et α un élément de Z[φ] qui n'est pas un multiple de π. Alors

${\displaystyle \alpha ^{|N(\pi )|-1}\equiv 1\mod \pi ,}$

c'est-à-dire que α^|N(π)|–1 – 1 est divisible par π.

La caractérisation des éléments irréductibles donnée plus haut permet de détailler cet énoncé[11] : sous les mêmes hypothèses mais en excluant le cas où π est associé à √5,

• si |N(π)| = p premier (de la forme 5n + 1 ou 5n – 1) alors${\displaystyle \alpha ^{p-1}\equiv 1\mod \pi }$et si α n'est pas non plus multiple du conjugué σ(π), alors cette congruence est même vraie non seulement mod π mais mod p ;
• si π = q premier (de la forme 5n + 2 ou 5n – 2) alors modulo q, on a non seulement α^q2 ≡ α mais même[12] α^q ≡ σ(α), autrement dit :

${\displaystyle \alpha ^{q+1}\equiv N(\alpha )\mod q.}$

Le petit théorème de Fermat dans Z[φ] permet d'établir ce qu’on appelle la « loi d'apparition des nombres premiers au sein de la suite de Fibonacci[14] » : tout nombre premier divise un des termes de la suite de Fibonacci. Plus précisément :

• si p est un nombre premier de la forme 5n + 1 ou 5n – 1 (donc un nombre qui se décompose dans Z[φ]), alors p divise F_p–1 (et F_p–2 – 1) ;
• si q est un nombre premier de la forme 5n + 2 ou 5n – 2 (donc un nombre qui reste irréductible dans Z[φ]), alors q divise F_q+1 (et F_q + 1).

En effet, par le petit théorème de Fermat dans Z[φ], p divise φ^p–1 – 1 = F_p–2 + F_p–1φ – 1 et q divise φ^q+1 + 1 = F_q + F_q+1φ + 1.

On peut tester le résultat numériquement. Par exemple, F_11–1 = 5 × 11 (et F_11–2 – 1 = 3 × 11), F₁₇₊₁ = 2 584 = 152 × 17 (et F₁₇ + 1 = 1 598 = 94 × 17).

Un autre usage du petit théorème de Fermat dans Z[φ] est de fournir une condition nécessaire et suffisante pour que certains nombres de Mersenne soient premiers. Plus précisément, si p = 4n + 3 est un nombre premier, le nombre de Mersenne M = 2^p – 1 est premier si et seulement si r_p–1 ≡ 0 (mod M), où la suite (r_m) est définie par récurrence : r₁ = 3 et r_m+1 = r_m² – 2.

La démonstration[15] repose sur le fait que la suite (r_m) s’exprime en fonction de φ, r_m = φ^2m + σ(φ)^2m. Le critère de primalité fourni par ce résultat est celui utilisé par Édouard Lucas pour prouver que le nombre de Mersenne 2¹²⁷ – 1 est premier.

L'objectif est, pour un entier fixé d non divisible par 5, de résoudre en nombres entiers l'équation

${\displaystyle ({\rm {E}}_{d})\quad u^{2}-5v^{2}=d}$

ou encore, d'après le § « Norme » ci-dessus :

${\displaystyle N(u+v{\sqrt {5}})=d.}$

On cherche donc (cf. § « Une remarque sur Z[√5] » ci-dessus) les éléments a + bφ de Z[φ] de norme d avec b pair, ces éléments étant reliés aux solutions de (E_d) par le changement de variables u = a + b/2, v = b/2.

Cette restriction au sous-anneau Z[√5] n'est pas très gênante car

tout élément de Z[φ] est le produit d'un inversible par un élément du sous-anneau Z[√5].

En effet, pour tout α dans Z[φ], l'un des trois nombres α, φ²α (de même norme) ou φα (de norme opposée) appartient à ce sous-anneau.

On s'intéresse donc dans un premier temps à tous les éléments de Z[φ] de norme ±d.

Résoudre les deux équations (E_±1) provient directement de la connaissance des unités de Z[φ] ; elles sont de la forme ±φⁿ où n est un entier relatif et la norme est (–1)ⁿ. La suite de Fibonacci donne les coordonnées des puissances de φ, mais il faut déterminer dans quels cas le coefficient de φ dans l'écriture de ces unités est pair. Or PGCD(F_n, 2) = PGCD(F_n, F₃) = F_{PGCD(n, 3)} donc F_n est pair si et seulement si n est multiple de 3. Les ensembles S_±1 des solutions des équations (E_±1) sont par conséquent[16] :

${\displaystyle S_{1}=\{\pm (F_{6k-1}+F_{6k}/2,F_{6k}/2)\mid k\in \mathbb {Z} \}{\text{ et }}S_{-1}=\{\pm (F_{6k+2}+F_{6k+3}/2,F_{6k+3}/2)\mid k\in \mathbb {Z} \}}$

ou encore, en faisant intervenir les nombres de Lucas L_n = 2F_n–1 + F_n :

${\displaystyle S_{1}=\{{\tfrac {\pm 1}{2}}(L_{6k},F_{6k})\mid k\in \mathbb {Z} \}{\text{ et }}S_{-1}=\{{\tfrac {\pm 1}{2}}(L_{6k+3},F_{6k+3})\mid k\in \mathbb {Z} \}.}$

L'analyse des éléments irréductibles de Z[φ] permet de résoudre la question : il existe dans Z[φ] des éléments de norme ±p si et seulement si p est congru à 1 ou à –1 modulo 5.

Le cas général s'en déduit :

Si dans la décomposition en facteurs premiers de d apparaît un facteur premier congru à 2 ou à –2 modulo 5 avec un exposant impair, alors les deux équations (E_±d) n'ont pas de solution.

En effet, la valeur absolue de la norme d'un élément irréductible correspondant à ce type de facteur est nécessairement un carré.

Si dans la décomposition en facteurs premiers de d n'apparaît aucun facteur premier congru à 2 ou à –2 modulo 5 avec un exposant impair, alors les deux équations (E_±d) admettent chacune une infinité de solutions.

Sous cette hypothèse, les différents facteurs premiers de d, ou leurs carrés dans le cas de facteurs de la forme 5n + 2 ou 5n – 2, correspondent à des normes d'éléments de Z[φ]. En appliquant la multiplicativité de la norme, on fabrique[17] un élément de Z[φ] de norme ±d et l'on en déduit (en le multipliant au besoin par φ ou φ²) un élément α = a + bφ de Z[√5] de norme d ou –d.

Pour en déduire toutes les solutions des deux équations (E_d) et (E_–d), on procède alors comme dans le cas d = ±1 ci-dessus (pour lequel α était choisi égal à 1) : les solutions correspondent, parmi les ±φ^mα avec m entier relatif pair pour l'une et impair pour l'autre, aux éléments qui appartiennent aussi au sous-anneau Z[√5]. Compte tenu du fait que b est pair, cette condition supplémentaire sur m se traduit par : aF_m est pair c'est-à-dire, si a est impair : m multiple de 3 (par le même argument que dans le cas d = ±1).

• (en) David A. Cox, Primes of the Form x² + ny², Wiley, 1997 (1^re éd. 1989) (ISBN 978-0-47119079-0)
• Serge Lang, Algèbre [détail des éditions]
• Pierre Samuel, Théorie algébrique des nombres [détail de l’édition]

• Robert Ferréol, Les cas n=3, 4 et 5 du théorème de Fermat
• Bas Edixhoven et Laurent Moret-Bailly, Théorie algébrique des nombres, cours de maîtrise de mathématiques, université de Rennes I, 2004 (lire en ligne)

• Arithmétique et théorie des nombres