Carquois (théorie des catégories)

Si ${\displaystyle Q=(Q_{0},Q_{1},s,t)}$ est un carquois et si ${\displaystyle X=(X_{i},\varphi _{\alpha })_{i\in Q_{0},\alpha \in Q_{1}}}$ et ${\displaystyle Y=(Y_{i},\psi _{\alpha })_{i\in Q_{0},\alpha \in Q_{1}}}$ sont deux représentations de ${\displaystyle Q}$ sur un corps ${\displaystyle k}$, on définit un morphisme de représentations ${\displaystyle f}$ entre ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle Y}$ comme une famille ${\displaystyle (f_{i})_{i\in Q_{0}}}$ d'applications linéaires ${\displaystyle f_{i}:X_{i}\to Y_{i}}$ telles que pour toute arête ${\displaystyle \alpha \in Q_{1}}$, le diagramme :

commute, c'est-à-dire : ${\displaystyle f_{t(\alpha )}\circ \varphi _{\alpha }=\psi _{\alpha }\circ f_{s(\alpha )}}$.
On peut alors définir la catégorie ${\displaystyle {\mathsf {Rep}}_{k}(Q)}$ la catégorie des ${\displaystyle k}$-représentations de ${\displaystyle Q}$ dont les objets sont morphismes sont tels que définis plus haut, l'identité la famille des identités, et la composition est simplement la composition composante par composante.

Étant donné un carquois ${\displaystyle Q}$ et un corps k, on peut définir l'algèbre de chemins ${\displaystyle kQ}$ de ${\displaystyle Q}$ comme l'algèbre dont la ${\displaystyle k}$-base est donnée par les chemins de ${\displaystyle Q}$ (y compris les chemins triviaux), la composition étant la concaténation si les chemins considérés peuvent être mis bout à bout, et donnant l'objet nul sinon.

Un ${\displaystyle kQ}$-module n'est rien d'autre qu'une représentation de ${\displaystyle Q}$, au sens où la catégorie ${\displaystyle {\mathsf {mod}}_{kQ}}$ des ${\displaystyle kQ}$-modules est équivalente[1] à la catégorie ${\displaystyle {\mathsf {Rep}}_{k}(Q)}$ des ${\displaystyle k}$-représentations de ${\displaystyle Q}$.

• Si ${\displaystyle Q=(Q_{0},Q_{1},s,t)}$ est un carquois et ${\displaystyle k}$ un corps, pour tout sommet ${\displaystyle i\in Q_{0}}$, on définit la représentation simple ${\displaystyle S(i)}$ comme la représentation de ${\displaystyle Q}$ dont toutes les flèches sont nulles et dont tous les sommets sont l'espace nul, excepté ${\displaystyle i}$ se voit associer l'espace ${\displaystyle k}$.

• On définit la représentation projective ${\displaystyle P(i)=(P(i)_{j},P(i)_{\alpha })}$ comme suit :
  • Pour tout sommet ${\displaystyle j\in Q_{0}}$, ${\displaystyle P(i)_{j}}$ est l'espace vectoriel dont la base est l'ensemble des chemins de ${\displaystyle i}$ vers ${\displaystyle j}$ (y compris le chemin trivial si ${\displaystyle i=j}$).
  • Pour toute arête ${\displaystyle \alpha :j_{0}\to j_{1}\in Q_{1}}$, ${\displaystyle P(i)_{\alpha }}$ est la concaténation des chemins par ${\displaystyle \alpha }$ (de sorte que tout chemin de ${\displaystyle i}$ vers ${\displaystyle j_{0}}$ soit envoyé sur un chemin de ${\displaystyle i}$ vers ${\displaystyle j_{1}}$), prolongée à ${\displaystyle P(i)_{j_{0}}}$ par linéarité.

• De manière duale, on définit la représentation injective ${\displaystyle I(i)=(I(i)_{j},I(i)_{\alpha })}$ :
  • Pour tout sommet ${\displaystyle j\in Q_{0}}$, ${\displaystyle I(i)_{j}}$ est l'espace vectoriel dont la base est l'ensemble des chemins de ${\displaystyle j}$ vers ${\displaystyle i}$ (y compris le chemin trivial si ${\displaystyle i=j}$).
  • Pour toute arête ${\displaystyle \alpha :j_{0}\to j_{1}\in Q_{1}}$, ${\displaystyle I(i)_{\alpha }}$ est la réciproque de la concaténation des chemins par ${\displaystyle \alpha }$ (de sorte que tout chemin de ${\displaystyle j_{0}}$ vers ${\displaystyle i}$ soit envoyé sur un chemin de ${\displaystyle j_{1}}$ vers ${\displaystyle i}$, on "enlève" l'arête ${\displaystyle \alpha }$ du chemin), prolongée à ${\displaystyle I(i)_{j_{0}}}$ par linéarité.

Les représentations ${\displaystyle P(i)}$ (resp. ${\displaystyle I(i)}$) sont des objets projectifs (resp. injectifs) de la catégorie ${\displaystyle {\mathsf {Rep}}_{k}(Q)}$, mais ce ne sont pas les seuls.

Une sous-représentation ${\displaystyle Y=(Y_{i},\psi _{\alpha })}$ d'une représentation ${\displaystyle X=(X_{i},\varphi _{\alpha })}$ est une représentation telle que pour tout sommet ${\displaystyle i\in Q_{0}}$, ${\displaystyle Y_{i}}$ est un sous-espace vectoriel de ${\displaystyle X_{i}}$, et pour toute arête ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \psi _{\alpha }}$ est la restriction de ${\displaystyle \varphi _{\alpha }}$ à ${\displaystyle Y_{s(\alpha )}}$. Autrement dit, l'injection canonique des ${\displaystyle X_{i}}$ dans les ${\displaystyle Y_{i}}$ est un morphisme de représentations.

Une représentation est dite irréductible (ou simple) elle n'admet pas de sous-représentation autre qu'elle même et la représentation nulle. Les représentations ${\displaystyle S(i)}$ sont irréductibles.

Une représentation est dite indécomposable si elle n'est pas somme directe de sous-représentations strictes (au sens de la somme directe composante par composante des espaces vectoriels des sommets, et par bloc des applications linéaires des arêtes). Cela revient à dire que le module associé à la représentation est indécomposable. Les représentations ${\displaystyle P(i)}$ et ${\displaystyle I(i)}$ sont indécomposables.

Le théorème de Krull-Schmidt appliqué aux représentations de carquois énonce que toute représentation de dimension finie peut s'écrire comme somme directe de représentations indécomposables[2] :

Théorème de Krull-Schmidt — Soit ${\displaystyle Q}$ un carquois, ${\displaystyle k}$ un corps et ${\displaystyle X}$ une ${\displaystyle k}$-représentation de ${\displaystyle Q}$ de dimension finie. Il existe une décomposition :

${\displaystyle X=X_{1}^{a_{1}}\oplus \ldots \oplus X_{r}^{a_{r}}}$

telle que les ${\displaystyle X_{i}}$ soient des représentations indécomposables deux à deux non isomorphes, et les ${\displaystyle a_{i}}$ des entiers naturels non nuls.

De plus, si ${\displaystyle X=Y_{1}^{b_{1}}\oplus \ldots \oplus Y_{s}^{b_{s}}}$ est une décomposition suivant les mêmes propriétés, alors ${\displaystyle r=s}$ et, quitte à réordonner, ${\displaystyle X_{i}\cong Y_{i}}$ et ${\displaystyle a_{i}=b_{i}}$ pour tout ${\displaystyle 1\leqslant i\leqslant r}$

.

On peut donc s'intéresser aux représentations indécomposables pour chercher à classifier les représentations à isomorphisme près.