Catégorie des ensembles

En mathématiques, plus précisément en théorie des catégories, la catégorie des ensembles, notée Set ou Ens, est la catégorie dont les objets sont les ensembles, et dont les morphismes sont les applications d'un ensemble dans un autre. Sa définition est motivée par le fait qu'en théorie des ensembles usuelle, il n'existe pas d'« ensemble de tous les ensembles », car l'existence d'un tel objet résulterait en une contradiction logique : le paradoxe de Russell.

La catégorie des ensembles illustre de nombreuses constructions usuelles (produit cartésien, produit fibré, réunion disjointe, etc.) en théorie des catégories, et de nombreuses catégories, dites « concrètes », en sont des restrictions : catégorie des groupes, des anneaux, etc. Elle constitue également l'archétype d'un topos – ou aussi, un topos peut se voir comme représentant une certaine théorie des ensembles.

Définition

Problèmes de fondation

Il n'y a pas en mathématiques d'« ensemble de tous les ensembles ». La théorie des ensembles habituellement considérée est la théorie de Zermelo-Fraenkel (éventuellement complétée de l'axiome du choix), et l'axiome de fondation fait de la collection de tous les ensembles une classe propre. Dans ZF ou ZFC, la notion de classe propre n'est pas formalisée, et cela pose problème pour donner un sens rigoureux à la catégorie des ensembles.

Il existe de nombreuses manières de résoudre cette situation. L'une d'entre elles est de travailler dans une théorie des ensembles qui formalise les classes, telles que la théorie des ensembles de von Neumann-Bernays-Gödel qui présente l'avantage de pouvoir être décrite avec un nombre fini d'axiomes, tout en étant essentiellement équivalente à ZFC. Une autre approche consiste à éviter les classes en travaillant dans un univers de Grothendieck fixé[1].

D'autres questions se posent dans la catégorie des ensembles, qui en font un objet d'étude intéressant en logique mathématique.

Catégorie des ensembles

La catégorie des ensembles est la catégorie ayant :

pour objets la collection de tous les ensembles ;
si A et B sont deux ensembles, Hom(A, B) est la collection des applications de A dans B, qui est un ensemble. La composition de morphismes correspond à la composition de fonctions usuelle.

Propriétés de la catégorie des ensembles

Propriétés catégoriques

La catégorie Set est localement petite, mais ce n'est pas une petite catégorie.
La catégorie Set est complète et cocomplète.
La catégorie Set est un topos bien pointé[2], en particulier elle est cartésienne fermée.
La catégorie Set n'est ni abélienne, ni additive, ni pré-additive (en).
Set est l'objet terminal de la catégorie des topos de Grothendieck (équipée des morphismes géométriques).

Objets

L'objet initial de Set est l'ensemble vide.
L'objet final de Set est le singleton[3].
Il n'y a pas d'objet zéro dans Set[4].
Le classificateur de sous-objet (en) est l'ensemble à deux éléments[5].
L'objet exponentiel de deux objets A et B de Set est l'ensemble B^A des applications de A dans B.
L'objet puissance de Set est l'ensemble des parties d'un ensemble.
Tout objet de Set qui n'est pas initial est un objet injectif (en)[6].
Un sous-objet (en) d'un objet A de Set correspond à un sous-ensemble B de A, plus précisément à la collection des applications depuis un ensemble équipotent à B et dont l'image est exactement B.

Morphismes

Les épimorphismes sont les applications surjectives.
Les monomorphismes sont les applications injectives.
Les isomorphismes sont les applications bijectives.

Limites

Le produit dans Set est le produit cartésien d'ensembles.
Le coproduit dans Set est la réunion disjointe d'ensembles.

Notes et références

Notes

Dans ce cas, on se donne un univers U et on définit plutôt la catégorie Set_U. Si l'approche en termes d'univers permet de contourner le souci de fondation, elle présente le désavantage technique de ne pas pouvoir parler, en toute généralité, de « la » catégorie des ensembles.
Dès lors qu'on autorise l'imprédicativité. Sinon, c'est en tout cas un prétopos.
Tout singleton est un objet final, mais puisqu'ils sont trivialement isomorphes deux à deux, on parle « du » singleton. On le note parfois $\{\star \}$ .
Un objet zéro est à la fois initial et final, un tel objet n'existe pas car l'ensemble vide est le seul ensemble ne contenant aucun élément.
De même que pour l'ensemble à un seul élément, on parle « du » classificateur de sous-objet, puisque tous les ensembles à deux éléments sont isomorphes deux à deux.
On peut poser comme axiome qu'un tel objet est également projectif. C'est une version faible de l'axiome du choix, qui l'implique.

Références

(en) Andreas Blass, « The interaction between category theory and set theory », dans Mathematical Applications of Category Theory, coll. « Contemporary Mathematics » (n^o 30), 1984 (lire en ligne), p. 5-29
(en) Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician [détail de l’édition]
(en) Saunders MacLane, « One universe as a foundation for category theory », dans Reports of the Midwest Category Seminar III, coll. « Springer Lect. Notes Math. » (n^o 106), 1969, p. 192-200
(en) Jean-Pierre Marquis, « Kreisel and Lawvere on Category Theory and the foundations of Mathematics »
(en) « Category of sets », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)
(en) Colin McLarty, " Exploring Categorical Structuralism", dans Philosophia Mathematica, III, vol. 12, no. 1, 2004, p. 37-53.
(en) Tom Leinster, "Rethinking Set Theory", dans American Mathematical Monthly, vol. 121, no. 5, 2014, p. 403-415.

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[1] Dans ce cas, on se donne un univers U et on définit plutôt la catégorie Set_U. Si l'approche en termes d'univers permet de contourner le souci de fondation, elle présente le désavantage technique de ne pas pouvoir parler, en toute généralité, de « la » catégorie des ensembles.

[2] Dès lors qu'on autorise l'imprédicativité. Sinon, c'est en tout cas un prétopos.

[3] Tout singleton est un objet final, mais puisqu'ils sont trivialement isomorphes deux à deux, on parle « du » singleton. On le note parfois $\{\star \}$ .

[4] Un objet zéro est à la fois initial et final, un tel objet n'existe pas car l'ensemble vide est le seul ensemble ne contenant aucun élément.

[5] De même que pour l'ensemble à un seul élément, on parle « du » classificateur de sous-objet, puisque tous les ensembles à deux éléments sont isomorphes deux à deux.

[6] On peut poser comme axiome qu'un tel objet est également projectif. C'est une version faible de l'axiome du choix, qui l'implique.