Catégorie des anneaux

En mathématiques, la catégorie des anneaux est une construction qui rend compte abstraitement des propriétés des anneaux en algèbre. Dans ce contexte, « anneau » signifie toujours anneau unitaire[1].

Définition

Catégorie des anneaux

La catégorie des anneaux, notée Ring, est la catégorie définie ainsi :

Les objets sont les anneaux ;
Les morphismes sont les morphismes d'anneaux, avec la composition usuelle, et l'identité est la fonction identité sur un anneau donné.

Catégorie des anneaux commutatifs

La sous-catégorie pleine de Ring, dont les objets sont les anneaux commutatifs, forme la catégorie des anneaux commutatifs, notée CRing. Il s'agit d'une sous-catégorie réflexive (en) : en effet, tout anneau peut être rendu commutatif en prenant son quotient par l'idéal engendré par les éléments de la forme ab - ba. Cette opération définit un foncteur

\mathrm {Ring} \to \mathrm {CRing}

qui est adjoint à gauche au foncteur d'inclusion

\mathrm {CRing} \hookrightarrow \mathrm {Ring}

La catégorie CRing est close par limites (mais pas par les colimites).

En géométrie algébrique, un résultat fondamental est qu'il y a une équivalence de catégories entre la catégorie opposée à CRing et la catégorie Aff des schémas affines, qui correspond au foncteur Spec :

\mathrm {Spec

.

Adjonctions

Un anneau est un monoïde dans la catégorie des groupes abéliens. On peut définir de manière naturelle les foncteurs d'oubli

A:\mathrm {Ring} \to \mathrm {Ab}

(oubli de la structure multiplicative)

M:\mathrm {Ring} \to \mathrm {Mon}

(oubli de la structure additive)

Le foncteur A admet un adjoint à gauche qui associe à tout groupe abélien G l'anneau tensoriel T(G)[2]. Le foncteur M admet un adjoint à gauche qui à tout monoïde N associe l'anneau de monoïde $\mathbb {Z} [N]$ .

En oubliant simultanément les deux structures, on obtient le foncteur d'oubli

U:\mathrm {Ring} \to \mathrm {Set}

dans la catégorie des ensembles. Ce foncteur admet un adjoint à gauche F qui à tout ensemble associe l'anneau librement engendré par les éléments de cet ensemble.

Propriétés de la catégorie des anneaux

Propriétés catégoriques

Ring est localement petite, mais ce n'est pas une petite catégorie ;
Ring est une catégorie concrète ;
Ring est une catégorie complète et cocomplète ;
Ring est une catégorie monoïdale tressée, avec le produit tensoriel $\otimes _{\mathbb {Z} }$ comme produit monoïdal et $\mathbb {Z}$ comme unité ;
Ring n'est ni préadditive, ni additive, ni abélienne car elle n'admet pas d'objet zéro ;
Un monoïde sur Ring est un anneau commutatif, c'est le théorème d'Eckmann-Hilton (en) ;

Objets

L'objet initial[3] est l'anneau des entiers relatifs $\mathbb {Z}$ ;
L'objet injectif (en) et l'objet terminal est l'anneau trivial[4] 1 ;
Ring n'a pas d'objet zéro.

Morphismes

Les isomorphismes de Ring sont les morphismes d'anneaux bijectifs ;
Les monomorphismes de Ring sont les morphismes d'anneau injectifs ;
Les épimorphismes réguliers correspondent aux épimorphismes extrémaux, qui sont dans Ring les morphismes d'anneaux surjectifs. Tout morphisme d'anneaux surjectif est donc un épimorphisme, mais la réciproque n'est pas vraie[5] ;
Les bimorphismes de Ring sont les épimorphismes injectifs, et ne coïncident donc pas avec les isomorphismes[6] ;

Limites

Les foncteurs d'oubli vers Ab, Mon ou Set créent et préservent les limites et les colimites filtrées (mais pas les coproduits ou coégaliseurs en général)
Le produit dans Ring est le produit d'anneaux ;
Le coproduit dans Ring est le produit libre d'anneaux ;
L'égaliseur correspond à l'égaliseur dans la catégorie des ensembles ;
Le coégaliseur de deux morphismes d'anneaux f, g : R → S est le quotient R/I où I est l'idéal engendré par les éléments de la forme f(r) - g(r), où r est un élément de R.
La limite projective dans Ring des anneaux d'entiers modulo $p^{n}$ correspond à l'anneau des nombres p-adiques

Voir aussi

Notes

On peut définir une notion de catégorie des pseudo-anneaux, parfois notée Rng, le « i » manquant indiquant que l'on considère les anneaux qui n'ont pas nécessairement d'identité. Cependant, ses propriétés sont assez différentes de la catégorie Ring définie dans cet article.
Ici, G est vu comme $\mathbb {Z}$ -module.
Tous les objets initiaux sont isomorphes à $\mathbb {Z}$ , on parle donc de « l'objet initial ».
Les objets injectifs et terminaux de Ring sont des anneaux contenant un unique élément, donc sont isomorphes à l'anneau dont l'unique élément est 1 = 0. En vertu de cet isomorphisme, on parle de « l'objet injectif » et de « l'objet terminal » de Ring.
Par exemple, l'injection $\mathbb {Z} \hookrightarrow \mathbb {Q}$ est un épimorphisme non surjectif.
Par exemple, l'injection $\mathbb {Z} \hookrightarrow \mathbb {Q}$ est un bimorphisme, mais pas un isomorphisme.

Références

(en) Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician [détail de l’édition]
Serge Lang, Algèbre [détail des éditions]

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[1] On peut définir une notion de catégorie des pseudo-anneaux, parfois notée Rng, le « i » manquant indiquant que l'on considère les anneaux qui n'ont pas nécessairement d'identité. Cependant, ses propriétés sont assez différentes de la catégorie Ring définie dans cet article.

[2] Ici, G est vu comme $\mathbb {Z}$ -module.

[3] Tous les objets initiaux sont isomorphes à $\mathbb {Z}$ , on parle donc de « l'objet initial ».

[4] Les objets injectifs et terminaux de Ring sont des anneaux contenant un unique élément, donc sont isomorphes à l'anneau dont l'unique élément est 1 = 0. En vertu de cet isomorphisme, on parle de « l'objet injectif » et de « l'objet terminal » de Ring.

[5] Par exemple, l'injection $\mathbb {Z} \hookrightarrow \mathbb {Q}$ est un épimorphisme non surjectif.

[6] Par exemple, l'injection $\mathbb {Z} \hookrightarrow \mathbb {Q}$ est un bimorphisme, mais pas un isomorphisme.