Objet projectif

Un objet ${\displaystyle P}$ dans une catégorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ est dit projectif si pour tout épimorphisme ${\displaystyle e:E\twoheadrightarrow X}$ et tout morphisme ${\displaystyle f:P\to X}$, il existe un morphisme ${\displaystyle {\overline {f}}:P\to E}$ tel que ${\displaystyle e\circ {\overline {f}}=f}$, c'est-à-dire que le diagramme suivant commute :

Autrement dit, tout morphisme ${\displaystyle P\to X}$ se factorise par les épimorphismes ${\displaystyle E\twoheadrightarrow X}$[1].

Si C est localement petite, et donc qu'en particulier ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}(P,X)}$ est un ensemble pour tout objet X de C, cette définition est équivalente à dire que le foncteur hom (également appelé foncteur coreprésentable) :

${\displaystyle \operatorname {Hom} (P,-)\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} }$

préserve les épimorphismes[2].

• Le coproduit de deux objets projectifs est projectif[3].
• La rétraction d'un objet projectif est projective[4].

L'affirmation que tous les ensembles sont projectifs est équivalente à l'axiome du choix[5].

Les objets projectifs de la catégorie des groupes abéliens sont les groupes abéliens libres.

Soit ${\displaystyle R}$ un anneau, et ${\displaystyle R}$- Mod la catégorie (abélienne) des${\displaystyle R}$ -modules à gauche. Les objets projectifs de ${\displaystyle R}$ - Mod sont exactement les modules projectifs. Par conséquent, ${\displaystyle R}$ est lui-même un objet projectif dans ${\displaystyle R}$ - Mod. De manière duale, les objets injectifs dans ${\displaystyle R}$ - Mod sont exactement les modules injectifs.

La catégorie des ${\displaystyle R}$ -modules à gauche (resp. à droite) a de plus suffisamment de projectifs. C'est le cas, car pour tout ${\displaystyle R}$ -module à gauche (resp. à droite) ${\displaystyle M}$, on peut considérer ${\displaystyle F}$ le module libre (et donc projectif) engendré par un ensemble ${\displaystyle X}$ qui est générateur pour ${\displaystyle M}$ (on peut en réalité prendre ${\displaystyle X}$ égal à ${\displaystyle M}$). La projection canonique ${\displaystyle \pi \colon F\to M}$ est la surjection requise.

Dans la catégorie des espaces de Banach munis des contractions, les épimorphismes sont exactement les fonctions dont l'image est dense. Wiweger (1969)^{[réf. incomplète]} montre que l'espace nul est le seul objet projectif de cette catégorie. Il existe cependant des espaces non triviaux et projectifs par rapport à la classe des contractions surjectives. Dans la catégorie des espaces vectoriels normés munis des contractions (et des fonctions surjectives comme "surjections"), les objets projectifs sont exactement les espaces ${\displaystyle l^{1}}$[6] :

${\displaystyle l^{1}(S)=\{(x_{s})_{s\in S},\sum _{s\in S}\|x_{s}\|<\infty \}.}$

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