Contrainte de cisaillement

Cisaillement simple d'une poutre selon l'axe y.

En cisaillement simple, la contrainte est uniformément répartie.

Dans la théorie des poutres, donc sur les pièces élancées (plus longues que larges), le cisaillement intervient lorsque l'on a un effort tranchant : si x est l'axe de la poutre, les composantes T_y et/ou T_z du torseur de cohésion sont non nulles.

On a du cisaillement simple lorsque l'on applique deux forces ${\displaystyle {\vec {\mathrm {T} }}}$ et ${\displaystyle -{\vec {\mathrm {T} }}}$ perpendiculairement à l'axe, les points d'application étant légèrement décalées (d'une quantité notée d sur le schéma ci-contre) : s'ils sont au droit (à la même abscisse), on a du pincement, et s'ils sont très éloignés, on a de la flexion. On remarque au passage qu'il en résulte un moment de couple T×d, qui doit être compensé par ailleurs, c'est ce couple qui crée de la flexion. La longueur de d permet de différencier le cisaillement pur (cisaillement théorique dont le torseur de cohésion ne contient qu'un effort tranchant) du cisaillement simple (qui lui contient un moment de flexion)

Le cisaillement simple a lieu entre les points d'application de la force ; on n'est donc pas dans les conditions d'application du principe de Saint-Venant. On considère que la contrainte est uniforme :

${\displaystyle \tau ={\frac {\mathrm {T} }{\mathrm {S} }}}$

où S est l'aire de la section droite.

La matière reste dans le domaine élastique tant que le cisaillement vérifie :

τ ≤ R_eg

où R_eg est la limite d'élasticité au glissement. Elle est reliée aux limites d'élasticité à la traction (R_e) et à la compression (R_ec) par[1] :

${\displaystyle \mathrm {R_{eg}} ={\frac {k_{0}}{1+k_{0}}}\cdot \mathrm {R_{e}} }$

avec

${\displaystyle k_{0}={\frac {\mathrm {R_{ec}} }{\mathrm {R_{e}} }}}$.

Typiquement :

• pour les aciers doux (R_e ≤ 270 MPa) et les alliages d'aluminium : R_eg = 0,5×R_e ;
• pour les aciers mi-durs (320 ≤ R_e ≤ 500 MPa) : R_eg = 0,7×R_e ;
• pour les aciers durs (R_e ≥ 600 MPa) et les fontes : R_eg = 0,8×R_e.

Pour valider une conception, on applique en général un coefficient de sécurité s. La validation à l'état limite ultime (ELU) s'exprime alors par la condition

τ ≤ R_pg

où R_pg est la résistance pratique au glissement, R_pg = R_eg/s.

En cisaillement, la cission n'est pas uniforme.

Dans le cas de la flexion (d « suffisamment grand »), la contrainte n'est plus uniforme : dans les conditions du principe de Saint-Venant (donc loin des points d'application des forces), les conditions d'équilibre imposent que la contrainte sur une surface libre soit perpendiculaire à cette surface, donc τ = 0 en haut et en bas, et elle est maximale sur la fibre neutre. Cette remarque a d'abord été formulée par l'ingénieur russe des chemins de fer D. Jouravski, chargé du franchissement de la Verevia. Il y établit l'un des plus grands ouvrages de la ligne Nicolaïev : un pont en treillis Howe en charpente, comportant 9 travées, une portée totale de 60 m et des piles hautes de 55 m. Mais si le bois est naturellement résistant en compression dans le sens des fibres, il est beaucoup plus vulnérable au cisaillement : Jouravski s'avisa qu'il fallait apprécier ce type d'effort précisément ; or la littérature scientifique de l'époque était encore quasiment muette sur la répartition de ce type de contrainte[2].

Dans la théorie d'Euler-Bernoulli, le cisaillement est négligé pour la flexion. Il est par contre pris en compte dans la théorie de Timoshenko (pour les poutres épaisses).

Lorsqu'une pièce est soumise à de la torsion, la matière se déforme en cisaillement.

Au cours d'une torsion, la matière est soumise à du cisaillement pur.

Dans le cas d'une pièce de section cylindrique fermée, il s'agit de torsion uniforme. La contrainte est nulle au centre (à la fibre neutre) et est maximale en périphérie. Cette contrainte maximale peut être calculée par :

${\displaystyle \tau _{\max }={\frac {\mathrm {M_{t}} }{\mathrm {C} }}}$

où

• M_t est le moment de torsion ;
• C est le module de torsion, dépendant de la géométrie de la section.

Cependant, pour les sections creuses (de formes convexes), la contrainte tangente s'exprime en fonction de l'épaisseur (t) comme suivant:

${\displaystyle \tau _{i}=T_{ED}/(2A_{k}t)}$

tel que ${\displaystyle A_{k}}$ est l'aire du contour tracé à mi-épaisseur de la paroi.

Cission dans le cas de la flexion d'une plaque.

En théorie des plaques, lorsque l'on isole un élément de plaque, il faut définir le cisaillement sur deux paires de faces opposées. Si l'axe z est normal à la plaque, on appelle q_x l'effort tranchant sur la face normale à l'axe x, et q_y l'effort tranchant sur la face normale à l'axe y. Dans une situation de flexion, la répartition des cissions τ_xz(z ) et τ_yz(z ) est identique au cas de la poutre en flexion.

Rupture d'un axe en porte-à-faux ou en chape.

En génie mécanique, les cas de rupture en cisaillement concernent essentiellement les axes. Le point primordial consiste à dénombrer les sections cisaillées.

Dans le cas d'une articulation en porte-à-faux (cas typique d'une paumelle), il n'y a qu'une seule section cisaillée. Si l'axe a un diamètre d, l'aire cisaillée vaut simplement

S = πd²/4.

Dans le cas d'une articulation en chape, il faut que la pièce se rompe en deux endroits, il y a donc deux sections cisaillées. L'aire cisaillée vaut donc

S = 2×πd²/4.

La force N soumet l’axe à un cisaillement selon deux sections S déterminées par l’assemblage tirant et chape (fig. 1).

La contrainte de cisaillement sera : ${\displaystyle \tau ={\frac {\mathrm {N} }{\mathrm {S} }}}$,

soit : ${\displaystyle \mathrm {S} ={\frac {\pi d^{2}}{4}}}$.

Les assemblages rivetés et boulonnés sont des assemblages par adhérence. C'est l'adhérence qui s'oppose aux efforts, si la conception est correcte il ne devrait jamais y avoir de cisaillement. Si toutefois il n'était pas possible d'exercer un effort presseur suffisant (cas des vis à bois par exemple), il faut dimensionner au cisaillement.

Dans le cas d’un cisaillement pur, la formule ${\displaystyle \tau ={\frac {\mathrm {N} }{\mathrm {S} }}}$ s’applique pour chaque section (la fig. 3 a deux sections, les fig. 2 et 4 ont quatre sections soumises au cisaillement).

À la figure 5, la force tangentielle maximale (force de serrage) appliquée à la tige de la vis sera égale au produit de la section annuaire (périmètre à fond de filet par la hauteur utile de l’écrou) par la valeur de la résistance au cisaillement de la matière.

Numérotation des faces du cube

Composantes du tenseur des contraintes

Un solide est décrit dans un repère ${\displaystyle (\mathrm {O} ,{\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3})}$ orthonormé direct. Considérons un cube de matière de côté a dont les faces sont normales aux axes du repère. Numérotons ses faces :

les faces i et -i sont les faces normales à ${\displaystyle {\vec {e_{i}}}}$, en partant du centre du cube, ${\displaystyle {\vec {e_{i}}}}$ pointe vers i, la face -i étant la face opposée.

Sur la face 1 s'exerce un vecteur-force ${\displaystyle {\vec {\mathrm {F} }}_{1}}$. La composante tangentielle ${\displaystyle {\vec {\mathrm {T} }}_{1}}$ de cette force crée un cisaillement. Si le vecteur force a pour composantes

${\displaystyle {\vec {\mathrm {F} }}_{1}={\begin{pmatrix}\mathrm {F} _{11}\\\mathrm {F} _{21}\\\mathrm {F} _{31}\end{pmatrix}}}$

alors le vecteur tangentiel a pour composantes

${\displaystyle {\vec {\mathrm {T} }}_{1}={\begin{pmatrix}0\\\mathrm {F} _{21}\\\mathrm {F} _{31}\end{pmatrix}}}$

on définit donc, pour la face 1, deux composantes de la contrainte de cisaillement :

σ₂₁ = F₂₁/a²

σ₃₁ = F₃₁/a²

De manière générale, pour la face j, on définit les deux cissions σ_{ij, i ≠ j}. Ces contraintes sont des composantes du tenseur des contraintes. On les note parfois τ_{ij, i ≠ j}.

Équilibre de l'élément de matière.

Si l'élément de matière est à l'équilibre, il ne doit pas se déplacer. La contrainte qui s'exerce sur la face -j est donc l'opposée de celle qui s'exerce sur j : σ_{i -j} = -σ_ij : elles sont symétriques.

Par ailleurs, ces contraintes créent un couple. Or, à l'équilibre, l'élément de matière ne doit pas tourner, on a donc un couple opposé (σ_ji, σ_{j -i}). On en déduit que le tenseur des contraintes est symétrique :

σ_ji = σ_ij.

Cercle de Mohr pour du cisaillement pur

Dans le cas du cisaillement pur, le cercle de Mohr est centré sur l'origine du repère.

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