Clôture parfaite

Soit ${\displaystyle K}$ un corps (commutatif). Une clôture parfaite ${\displaystyle L}$ de ${\displaystyle K}$ est une extension algébrique de ${\displaystyle K}$ telle que

• ${\displaystyle L}$ est un corps parfait et
• pour toute extension ${\displaystyle F/K}$ avec ${\displaystyle F}$ parfait, il existe un unique homomorphisme de ${\displaystyle K}$-extensions ${\displaystyle L\to F}$.

Notons que si une clôture parfaite existe, elle sera unique à isomorphisme unique près. Si ${\displaystyle K}$ est lui-même parfait, alors il est sa propre clôture parfaite.

Une clôture parfaite de ${\displaystyle K}$ existe et est unique à isomorphisme unique près.

En effet, on peut supposer ${\displaystyle K}$ non-parfait (donc de caractéristique ${\displaystyle p>0}$). Fixons une clôture algébrique ${\displaystyle \Omega }$ de ${\displaystyle K}$. Soit ${\displaystyle L}$ l'ensemble des éléments radiciels de ${\displaystyle \Omega }$ sur ${\displaystyle K}$. On sait que c'est une extension algébrique radicielle de ${\displaystyle K}$. Montrons que c'est une clôture parfaite.

• D'abord ${\displaystyle L}$ est parfait : tout élément ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle L}$ est une puissance ${\displaystyle y^{p}}$ avec ${\displaystyle y\in \Omega }$. Il suit que ${\displaystyle y}$ est radiciel sur ${\displaystyle K}$ puisque ${\displaystyle x}$ l'est. Donc ${\displaystyle y\in L}$. Donc ${\displaystyle L}$ est parfait.
• Soit ${\displaystyle F/K}$ est une extension avec ${\displaystyle F}$ un corps parfait. Pour tout ${\displaystyle a\in L}$, il existe ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ tel que ${\displaystyle a^{p^{n}}=\alpha \in K}$. Comme ${\displaystyle F}$ est parfait, il existe un unique ${\displaystyle b\in F}$ tel que ${\displaystyle b^{p^{n}}=\alpha }$. On vérifie aisément que la correspondance ${\displaystyle a\mapsto b}$ établit un homomorphisme de ${\displaystyle K}$-extensions ${\displaystyle L\to F}$. De plus pour tout homomorphisme ${\displaystyle \phi :L\to F}$ de ${\displaystyle K}$-extensions, ${\displaystyle \phi (a)^{p^{n}}=\phi (\alpha )=\alpha =b^{p^{n}}}$, donc ${\displaystyle \phi (a)=b}$. Ce qui prouve l'unicité.

La clôture parfaite est aussi appelée clôture radicielle, ce qui est cohérent avec les propriétés ci-dessus. Elle est notée ${\displaystyle K^{p^{-\infty }}}$.

Soit ${\displaystyle K}$ un corps de caractéristique ${\displaystyle p>0}$. Soit ${\displaystyle K^{p^{-\infty }}}$ sa clôture parfaite dans une clôture algébrique ${\displaystyle \Omega }$ de ${\displaystyle K}$. Alors une sous-extension ${\displaystyle E}$ de ${\displaystyle \Omega /K}$ est séparable si et seulement elle est linéairement disjointe de ${\displaystyle K^{p^{-\infty }}}$ sur ${\displaystyle K}$.

N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, Masson, 1981, chap. V

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