Panache volcanique

Les travaux entrepris dans la description du comportement des panaches verticaux tels que les panaches volcaniques dans un milieu homogène ont été commencés par Rouse[1] qui a montré que le profil des propriétés d'écoulement est gaussien. Morton[2] a introduit l'hypothèse d'entraînement qui marquera une avancée majeure dans la modélisation théorique des panaches verticaux. Il a proposé une description simple de la nature du panache à travers un modèle théorique. Il a utilisé dans son approche l’hypothèse d’entraînement qui a été introduite précédemment par Taylor[3]. Cette hypothèse modélise le mécanisme d'aspiration du fluide ambiant dans le panache par une vitesse d’entrée perpendiculaire à l’axe du panache, et directement proportionnelle à la vitesse moyenne locale ascendante du panache.

Description du modèle d'entraînement de Morton

Modélisation numérique d'un panache vertical

Pour affiner les résultats sur le comportement du panache, Morton a, après analyse et développement, repris l’hypothèse de Taylor dans son étude. Il a supposé un profil uniforme (top-hat), i.e. une valeur constante à travers le panache et zéro ailleurs. Bien que les propriétés de l’écoulement telles que la vitesse et la densité suivent une distribution gaussienne le long de la zone de l'écoulement établi du panache, il est convenable de supposer une telle hypothèse pour simplifier l'écriture des équations. En fait, le passage du profil gaussien au profil top-hat peut être fait en effectuant une intégration le long de la section transversale du panache, i.e. obtenir une valeur moyenne sur la propriété voulue.

Le modèle physique est représenté schématiquement sur la figure ci-contre. Il consiste en une éjection verticale d’un fluide léger turbulent dans un milieu plus dense homogène, depuis un orifice de rayon ${\displaystyle b_{i}}$, à une vitesse initiale ${\displaystyle u_{i}}$ et une densité ${\displaystyle \rho _{i}}$.

Il est considéré dans ce développement que le régime de l’écoulement est stationnaire et permanent et que le fluide est incompressible. La dispersion du panache dans un fluide homogène, est décrit mathématiquement au travers de diverses équations de conservation afin de prédire les trajectoires, les concentrations, les vitesses, les densités et le rayon en fonction de la distance verticale le long du panache. Il est à noter que cette étude concerne aussi bien le cas restrictif de l'approximation de Boussinesq que le cas général non-Boussinesq^{[incompréhensible]}.

Le nombre de Reynolds est suffisamment grand pour s'assurer que le régime d'écoulement est bien turbulent, ce qui nous permet d'affirmer que, ni le nombre de Reynolds, ni les propriétés moléculaires du fluide telles que la viscosité, n'entrent directement dans la détermination des propriétés du panache. Morton[4] précise la limite d'application de l'hypothèse d'entraînement : dans sa note, il indique que, pour les écoulements où l'équilibre n'est pas atteint, l'entraînement doit être lié non pas à la vitesse locale moyenne, mais plutôt au tenseur de Reynolds^{[incompréhensible]}.

En considérant un élément de volume cylindrique, les équations de conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l'énergie sont écrites sous la forme suivante :

• Équation de continuité :

${\displaystyle {\frac {d(\rho b^{2}u)}{dz}}=2\rho _{\infty }bu_{e}}$ ;

• Équation de bilan de la quantité de mouvement :

${\displaystyle {\frac {d(\rho b^{2}u^{2})}{dz}}=gb^{2}(\rho _{\infty }-\rho )}$ ;

• Équation de bilan de l'énergie :

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\left(b^{2}u(\rho _{\infty }-\rho )\right)=0}$.

Selon l'hypothèse de Morton, la vitesse d'entraînement ${\displaystyle u_{e}}$ est proportionnelle à la vitesse locale du panache, ainsi :

${\displaystyle u_{e}=\alpha _{e}u}$

où :

${\displaystyle z}$ est la distance verticale ;

${\displaystyle \rho }$ est la densité locale du panache ;

${\displaystyle \rho _{\infty }}$ est la densité du milieu, considérée constante dans le cas homogène non stratifié ;

${\displaystyle u}$ désigne la vitesse du panache, elle possède une seule composante suivant ${\displaystyle z}$ ;

${\displaystyle b}$ représente le rayon du panache qui délimite la frontière avec le milieu ;

${\displaystyle \alpha _{e}}$ désigne le coefficient d'entraînement ou appelé aussi le taux d'aspiration du fluide ambiant ;

${\displaystyle g}$ est l'accélération de la pesanteur.

Michaux et al.[5] ont donné une formulation générale du problème, dans le cadre ou non de l'approximation de Boussinesq, ils ont introduit le rayon modifié ${\displaystyle \beta }$, le déficit de densité adimensionnel ${\displaystyle \eta }$ et le coefficient d'entraînement corrigé définis respectivement par :

${\displaystyle \beta =\left({\frac {\rho }{\rho _{\infty }}}\right)^{\frac {j}{2}}b}$

${\displaystyle \eta ={\frac {\Delta \rho }{\rho _{\infty }}}\left({\frac {\rho _{\infty }}{\rho }}\right)^{j}}$

${\displaystyle \alpha _{e}=\left({\frac {\rho }{\rho _{\infty }}}\right)^{\frac {j}{2}}\alpha }$,

tels que ${\displaystyle j=0}$ dans le cas de l'approximation de Boussinesq et ${\displaystyle j=1}$ dans le cas non-Boussinesq.

${\displaystyle \Delta \rho }$ désigne l'écart entre la densité du milieu et celle du panache.

Le système d'équations différentielles précédant devient ainsi :

${\displaystyle {\frac {d(u\beta ^{2})}{dz}}=2\alpha \beta u}$

${\displaystyle {\frac {d(u^{2}\beta ^{2})}{dz}}=g\eta \beta ^{2}}$

${\displaystyle {\frac {d(\eta u\beta ^{2})}{dz}}=0}$

On introduit la fonction panache définie par :

${\displaystyle \Gamma ={\frac {5g}{8\alpha }}{\frac {\eta \beta }{u^{2}}}}$

Cette fonction n'est en fait qu'un nombre de Richardson normalisé, il traduit la compétition entre les effets de flottabilité et de quantité de mouvement.

Pour des faibles valeurs de ${\displaystyle \Gamma }$, l'effet de la quantité de mouvement est prépondérant par rapport à celui de flottabilité, tandis que pour des fortes valeurs de ${\displaystyle \Gamma }$, l'effet de flottabilité domine.

Forme d'un panache paresseux (${\displaystyle \Gamma _{i}>1}$) avec présence d'un col (section minimale)

Forme d'un panache forcé (${\displaystyle \Gamma _{i}<1}$)

Forme d'un panache pur (${\displaystyle \Gamma =1}$)

Variations de la fonction panache en fonction de l'altitude pour un panache paresseux, forcé ou pur

Les équations différentielles qui régissent l'écoulement peuvent s'exprimer directement en fonction de ${\displaystyle \Gamma }$ :

${\displaystyle {\frac {d\beta }{dz}}={\frac {4\alpha }{5}}\left({\frac {5}{2}}-\Gamma \right)}$

${\displaystyle {\frac {du}{dz}}={\frac {8\alpha }{5}}{\frac {u}{\beta }}\left(\Gamma -{\frac {5}{4}}\right)}$

${\displaystyle {\frac {d\eta }{dz}}=-{\frac {2\alpha \eta }{\beta }}}$

Ces dernières équations traduisent que le rayon modifié possède une valeur minimale (un col) et ceci correspond à ${\displaystyle \Gamma =5/2}$, et que la vitesse atteint une valeur maximale à l'endroit où ${\displaystyle \Gamma =5/4}$, autrement dit, il y a accélération de l'écoulement jusqu'à atteindre une valeur maximale, ceci a lieu juste après la section minimale.

L'équation définissant la fonction panache couplée avec ces dernières équations permet d'obtenir une équation différentielle en ${\displaystyle \Gamma }$ :

${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma }}{\frac {d\Gamma }{dz}}={\frac {4\alpha }{\beta }}(1-\Gamma )}$

L'avantage de l'introduction de la fonction panache est de pouvoir exprimer toutes les autres grandeurs uniquement en fonction de${\displaystyle \Gamma }$. Ainsi :

${\displaystyle {\frac {\eta }{\eta _{i}}}=\left({\frac {\Gamma _{i}}{\Gamma }}{\frac {1-\Gamma }{1-\Gamma _{i}}}\right)^{\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle {\frac {u}{u_{i}}}=\left({\frac {\Gamma _{i}}{\Gamma }}\right)^{\frac {1}{2}}\left({\frac {1-\Gamma }{1-\Gamma _{i}}}\right)^{\frac {1}{10}}}$

${\displaystyle {\frac {\beta }{\beta _{i}}}=\left({\frac {\Gamma }{\Gamma _{i}}}\right)^{\frac {1}{2}}\left({\frac {1-\Gamma _{i}}{1-\Gamma }}\right)^{\frac {3}{10}}}$

L'indice ${\displaystyle i}$ désigne la valeur de la variable au niveau de la source.

Il est ainsi possible de déterminer les valeurs de la vitesse maximale et de la section minimale :

${\displaystyle {\frac {u_{max}}{u_{i}}}={\frac {u\left(\Gamma ={\cfrac {5}{4}}\right)}{u_{i}}}=\left({\cfrac {4\Gamma _{i}}{5}}\right)^{\frac {1}{2}}\left({\cfrac {1}{4(\Gamma _{i}-1)}}\right)^{\frac {1}{10}},}$

${\displaystyle {\frac {\beta _{min}}{\beta _{i}}}={\frac {\beta \left(\Gamma ={\cfrac {5}{2}}\right)}{\beta _{i}}}=\left({\cfrac {5}{2\Gamma _{i}}}\right)^{\frac {1}{2}}\left({\cfrac {2(\Gamma _{i}-1)}{3}}\right)^{\frac {3}{10}}}$

Suivant la valeur de la fonction panache au niveau de la source, ${\displaystyle \Gamma (z)}$ est la solution de :

${\displaystyle {\frac {d\Gamma }{dz}}={\begin{cases}-{\frac {1}{\Lambda _{i}}}\Gamma ^{\frac {1}{2}}(\Gamma -1)^{\frac {13}{10}}&{\text{si }}\Gamma _{i}>1\\{\frac {1}{\Lambda _{i}}}\Gamma ^{\frac {1}{2}}(1-\Gamma )^{\frac {13}{10}}&{\text{si }}\Gamma _{i}<1\end{cases}}}$

avec :

${\displaystyle \Lambda _{i}=\beta _{i}{\frac {|\Gamma _{i}-1|^{\frac {3}{10}}}{4\alpha \Gamma _{i}^{\frac {1}{2}}}}}$

L'introduction de la fonction panache permet de savoir la nature du panache suivant la valeur de ${\displaystyle \Gamma _{i}}$.

• Pour ${\displaystyle \Gamma _{i}>1}$, la fonction ${\displaystyle \Gamma }$ est strictement décroissante, elle tend vers l'unité par valeurs supérieures lorsque ${\displaystyle z}$ tend vers l'infini. Ceci signifie que l'effet de flottabilité est dominant à proximité de la source. Le panache est dit paresseux (lazy).
• Pour ${\displaystyle \Gamma _{i}<1}$, la fonction ${\displaystyle \Gamma }$ est strictement croissante, elle tend de même vers l'unité par valeurs inférieures lorsque ${\displaystyle z}$ tend vers l'infini. Le comportement du jet domine au voisinage de la source et l'effet de flottabilité est négligeable devant celui de quantité de mouvement, mais plus loin de la source, les deux flux s'équilibrent, et la fonction panache tend vers l'unité. Le panache est dit dans ce cas forcé.
• Pour ${\displaystyle \Gamma _{i}=1}$, la fonction ${\displaystyle \Gamma }$ est constamment constante et valant l'unité, indépendamment de l'altitude ${\displaystyle z}$, les deux flux sont toujours équilibrés et le panache est dit pur. C'est uniquement dans ce cas que des solutions analytiques exactes peuvent être retrouvées.

La solution du problème est donnée par :

${\displaystyle \zeta ={\begin{cases}{\mathfrak {N}}(\Gamma )-{\mathfrak {N}}(\Gamma _{i})&{\text{si }}\Gamma _{i}>1\\{\mathfrak {T}}(\Gamma )-{\mathfrak {T}}(\Gamma _{i})&{\text{si }}\Gamma _{i}<1\end{cases}}}$

avec :

${\displaystyle {\mathfrak {N}}(a)=\int _{a}^{\infty }t^{-{\frac {1}{2}}}(1-t)^{-{\frac {13}{10}}}\mathrm {d} t=B\left({\cfrac {1}{a}};{\cfrac {1}{5}},-{\cfrac {3}{10}}\right)}$

${\displaystyle {\mathfrak {T}}(a)=\int _{0}^{a}t^{-{\frac {1}{2}}}(1-t)^{-{\frac {13}{10}}}\mathrm {d} t=B\left(a;{\cfrac {1}{2}},-{\cfrac {3}{10}}\right),}$

tel que ${\displaystyle B(x;a,b)}$ désigne la fonction bêta incomplète de paramètres ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$.

Il existe une autre formulation pour écrire ces deux équations précédentes d'une façon unique en remplaçant ${\displaystyle \Gamma }$ par son inverse dans le cas forcé, ceci va permettre d'effectuer une seule résolution à la fois :

${\displaystyle {\frac {d\Gamma }{d\zeta }}=-\Gamma ^{q}(\Gamma -1)^{r}}$

où :

${\displaystyle \zeta ={\frac {z}{\Lambda _{i}}}}$ et ${\displaystyle q={\frac {1}{2}}}$ pour le cas lazy et ${\displaystyle q={\frac {1}{5}}}$ pour le cas forcé, ${\displaystyle r}$ vaut pour les deux cas ${\displaystyle {\frac {13}{10}}}$.

Ainsi :

${\displaystyle \zeta ={\mathfrak {R}}(\Gamma )-{\mathfrak {R}}(\Gamma _{i})}$

avec ${\displaystyle {\mathfrak {R}}(a)=B\left({\frac {1}{a}};q,-r\right)}$

Des solutions analytiques asymptotiques raccordées, déterminées par la méthode des perturbations ont été données par Candelier et al.[6].

La fonction de panache vaut constamment l'unité, la résolution analytique donne directement les variations de ${\displaystyle \beta }$, de ${\displaystyle u}$ et de ${\displaystyle \eta }$ en fonction de ${\displaystyle z}$ :

${\displaystyle {\frac {\beta }{\beta _{i}}}=1+{\frac {6\alpha z}{5\beta _{i}}}}$

${\displaystyle {\frac {u}{u_{i}}}={\frac {1}{\left(1+{\cfrac {6\alpha z}{5\beta _{i}}}\right)^{\frac {1}{3}}}}}$

${\displaystyle {\frac {\eta }{\eta _{i}}}={\frac {1}{\left(1+{\cfrac {6\alpha z}{5\beta _{i}}}\right)^{\frac {5}{3}}}}}$

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