Conjugué

En mathématiques, le conjugué d'un nombre complexe $z$ est le nombre complexe formé de la même partie réelle que $z$ mais de partie imaginaire opposée.

Représentation géométrique (diagramme d'Argand) de z et de son conjugué z̅ dans le plan complexe. Le conjugué est obtenu par symétrie par l'axe des réels.

Définition

Le conjugué $a-b{\rm {i}}$ d'un nombre complexe $z=a+b{\rm {i}}$ , où $a$ et $b$ sont nombres réels, est noté[1]^,[2] ${\bar {z}}$ ou $z^{*}$ . Dans le plan, le point d'affixe ${\bar {z}}$ est le symétrique du point d'affixe $z\,$ par rapport à l'axe des abscisses. Le module du conjugué reste inchangé.

On peut définir une application, appelée conjugaison, par

{\begin{array}{ccc}\mathbb {C} &\longrightarrow &\mathbb {C} \\z&\longmapsto &{\overline {z}}\end{array}}

Cette application est ℝ-linéaire et continue. C'est de plus un automorphisme du corps ℂ.

Propriétés

On prend $(z,w)\in \mathbb {C} ^{2}$ .

${\overline {z+w}}={\bar {z}}+{\bar {w}}$
${\textstyle {\overline {zw}}={\bar {z}}\times {\bar {w}}}$
${\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}={\frac {\bar {z}}{\bar {w}}}$ si $w$ est non nul
$\operatorname {Im} \left(z\right)=0$ si et seulement si ${\bar {z}}=z$
$\left|{\bar {z}}\right|=\left|z\right|$
$z{\overline {z}}=\left|z\right|^{2}$
$z^{-1}={{\overline {z}} \over {\left|z\right|^{2}}}$ pour $z$ non nul.

Quaternions

Le conjugué du quaternion $q=a+bi+cj+dk$ est $q^{*}=a-bi-cj-dk$ .

Propriété

$q\cdot q^{*}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\,$
${\frac {1}{q}}={\frac {1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}\cdot q^{*}\,$
On peut calculer aisément l'inverse d'un quaternion en utilisant les propriétés du quaternion conjugué.

Algèbre linéaire

L'opération de conjugaison peut s'étendre aux espaces vectoriels complexes et à leurs éléments. Elle permet de former des espaces vectoriels conjugués.

Notes et références

Norme ISO/CEI 80000-2 : z principalement en mathématiques, z* principalement en physique et sciences de l'ingénieur.
z se lit « z barre ».

Arithmétique et théorie des nombres

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[1] Norme ISO/CEI 80000-2 : z principalement en mathématiques, z* principalement en physique et sciences de l'ingénieur.

[2] z se lit « z barre ».