Constante de Prouhet-Thue-Morse
En mathématiques et dans ses applications, la constante de Prouhet-Thue-Morse, portant les noms de Eugène Prouhet, Axel Thue et Marston Morse, est le nombre dont le développement binaire est la suite de Prouhet-Thue-Morse. En d'autres termes,
où est le e terme de la suite de Prouhet-Thue-Morse.
Elle est répertoriée comme la suite A014571 de l'OEIS.
La série génératrice pour est donnée par
et peut être exprimée par
Ceci est un produit de polynômes de Frobenius (en), et ainsi se généralise aux corps commutatifs arbitraires.
Kurt Mahler a montré que ce nombre est transcendant en 1929. Comme la suite de Prouhet-Thue-Morse est une suite automatique, ce fait résulte maintenant du théorème général que tout nombre défini par une suite automatique est soit rationnel, soit transcendant.
Applications
La constante de Prouhet-Thue-Morse apparaît comme l'angle du rayon de Douady-Hubbard (en) à la fin de la suite des bourgeons à l'ouest de l'ensemble de Mandelbrot. Ceci peut être compris en raison de la nature du doublement de période dans l'ensemble de Mandelbrot[1].[pas clair]
Notes et références
- Parameter Ray Atlas (2000) fournit un lien vers l'ensemble de Mandelbrot.
Liens externes
- (en) The ubiquitous Prouhet-Thue-Morse sequence, par John-Paull Allouche et Jeffrey Shallit (dans Sequences and their applications, Proceedings of SETA’98, Springer, 1999, p. 1-16) fournit de nombreuses applications de cette constante et décrit son histoire
- (en) « Prouhet-Thue-Morse constant », sur PlanetMath
- Arithmétique et théorie des nombres