Théorème de La Hire

Les arcs K₁K et KM₁ ont des longueurs égales à chaque instant

Un cercle mobile ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ de centre ${\displaystyle \Omega }$ et de rayon ${\displaystyle r}$ roule sans glisser dans un cercle fixe ${\displaystyle {\mathcal {C}}'}$ de centre ${\displaystyle O}$ et de rayon ${\displaystyle 2r}$.
Soient ${\displaystyle K_{1}}$ le point de contact à un instant initial et ${\displaystyle M_{1}}$ le point lié à ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ qui est en contact avec ${\displaystyle K_{1}}$ à cet instant initial.
Si ${\displaystyle K}$ est un point de contact ultérieur tel que ${\displaystyle {\widehat {K_{1}OK}}=\alpha }$, le point de contact s'est déplacé d'un arc de longueur ${\displaystyle \alpha \times 2r}$ sur ${\displaystyle {\mathcal {C}}'}$. Le point ${\displaystyle M_{1}}$ s'est alors déplacé d'un arc de même longueur ${\displaystyle 2\alpha \times r}$ sur le cercle mobile ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ en sens inverse, donc ${\displaystyle {\widehat {K\Omega M_{1}}}=-2\alpha }$.
${\displaystyle O}$ appartenant à ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, on a ${\displaystyle {\widehat {KOM_{1}}}=-\alpha }$ (voir théorème de l'angle inscrit), donc ${\displaystyle M_{1}}$ est le deuxième point d'intersection de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ avec ${\displaystyle (OK_{1})}$.
De plus, les points ${\displaystyle O,\Omega ,K}$ restant alignés, ${\displaystyle {\widehat {OM_{1}K}}}$ est un angle droit, donc ${\displaystyle M_{1}}$ est le projeté orthogonal du point de contact ${\displaystyle K}$ sur le diamètre de ${\displaystyle {\mathcal {C}}'}$ passant par ${\displaystyle K_{1}}$.
${\displaystyle M_{1}}$ décrit ce diamètre lorsque ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ roule dans ${\displaystyle {\mathcal {C}}'}$.

Le diamètre décrit par le point ${\displaystyle M_{1}}$ est un cas particulier d'hypocycloïde.

${\displaystyle M}$ est un point appartenant au plan du cercle mobile ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ tel que ${\displaystyle \Omega M=d}$. Soit ${\displaystyle M_{1}}$ le point d'intersection de la demi-droite ${\displaystyle [\Omega M)}$ avec ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.
Quitte à faire rouler ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ jusqu'à ce que ${\displaystyle M_{1}}$ soit en contact avec ${\displaystyle {\mathcal {C}}'}$ en un point ${\displaystyle K_{1}}$, on choisit un repère tel que ${\displaystyle [Ox)=[OK_{1})}$ et on désigne par ${\displaystyle \alpha }$ l'angle ${\displaystyle {\widehat {K_{1}O\Omega }}}$.
Les coordonnées de ${\displaystyle M}$ sont alors :
${\displaystyle x=r\cos \alpha +d\cos(-\alpha )=(r+d)\cos \alpha }$
${\displaystyle y=r\sin \alpha +d\sin(-\alpha )=(r-d)\sin \alpha }$

Lorsque ${\displaystyle \alpha }$ varie de ${\displaystyle 0}$ à ${\displaystyle 2\pi }$, ${\displaystyle M}$ décrit l'ellipse de centre ${\displaystyle O}$, de grand-axe ${\displaystyle 2(r+d)}$ et de petit-axe ${\displaystyle 2|r-d|}$.

L'ellipse de La Hire est un cas particulier d'hypotrochoïde.