Critère de plasticité

Sollicitation de la pièce selon deux axes : si l'on a de la traction sur les deux axes, les cissions résultantes sur le plan à 45° s'opposent ; si l'on a de la traction selon un axe et de la compression selon un autre, les cissions s'ajoutent

Contraintes nécessaires pour atteindre la limite d'élasticité

Plaçons-nous dans le cas d'un état de contraintes planes. Dans le cas de la traction uniaxiale d'une pièce d'un matériau ductile, la limite de contrainte au-delà de laquelle on a une déformation plastique est la limite d'élasticité R_e : pour une traction d'axe x, on reste dans le domaine élastique si la contrainte σ_xx vérifie :

σ_xx < R_e

Ceci représente en général à une limite admissible pour des pièces en service : au-delà de cette valeur, les pièces se déforment de manière irréversible, et si la géométrie de la pièce est importante pour le système, cela provoque une défaillance.

On provoque de la déformation plastique si :

${\displaystyle \sigma _{xx}>\mathrm {R_{e}} }$

cette situation est recherchée dans le cas de la mise en forme (laminage, forgeage, pliage, emboutissage, etc.).

Le physicien autrichien Schmid a montré que la déformation plastique des cristaux se fait par cisaillement ; on constate du reste expérimentalement qu'il est bien plus aisé de déformer une éprouvette d'acier par cisaillement, en faisant glisser les plans d'atomes les uns sur les autres, que par compression. En chargement vierge, la cission (ou contrainte de cisaillement) est maximale pour un plan incliné de 45° par rapport à l'axe de traction (voir l'article Cercle de Mohr).

Supposons maintenant que l'on sollicite la pièce selon x et y. On obtient la cission résultante en projetant les forces de traction ou compression sur le plan à 45°. Nous voyons que :

• si l'on a de la traction sur x et sur y, les cissions résultantes s'opposent, on atteint donc moins vite la limite élasticité ; la situation est identique si l'on a de la compression sur les deux axes ;
• si l'on a de la traction sur x et de la compression sur y, les cissions résultantes s'ajoutent, on atteint donc plus vite la limite d'élasticité.

Si nous représentons la frontière R entre domaine élastique et domaine plastique sur un graphique (σ_xx, σ_yy), alors

• les contraintes valent R_e sur les axes (traction ou compression uniaxiale) ;
• les contraintes pour atteindre R sont plus élevées que R_e lorsqu'elles sont de même signe ;
• les contraintes pour atteindre R sont plus faibles que R_e lorsqu'elles sont de signes opposés.

Dans un cas plus général, on considère les contraintes principales σ_I et σ_II. Dans le cas de contraintes tridimensionnelles, on considère σ_I, σ_II et σ_III.

Critère de ruine

Comme mentionné précédemment, la limite d'élasticité R_e est souvent une limite ultime à ne pas dépasser pour des pièces en service. Cependant, la contrainte réelle que subissent les pièces peut être plus élevée que la contrainte que l'on calcule ; en effet, l'effort peut être accidentellement plus élevé que prévu, et en ce qui concerne les pièces, les variations de forme (entailles, trous, congés…) entraînent des concentrations de contraintes. Dans tous les cas, la contrainte nominale, si elle correspond à une condition d'équilibre statique, doit rester inférieure à la limite d'élasticité.

Pour prendre en compte ces phénomènes imprévus, on utilise une valeur limite pratique R_p qui est inférieure à R_e. On divise pour cela R_e par un coefficient de sécurité s dépendant du domaine d'utilisation de la pièce ; du fait de ce coefficient de sécurité, on utilise en général un signe inférieur ou égal :

R_p = R_e/s

σ_xx ≤ R_p

Le respect de cette limite est un critère de validation du système. Le dépassement de cette limite est considéré comme provoquant la défaillance du système, cela constitue donc un critère de ruine.

Notez que l'on peut dans certains cas admettre localement un dépassement de la limite d'élasticité qui ne produirait pas de déformation significative de la structure.

L'espace des contraintes est à six dimensions (le tenseur des contraintes comporte neuf termes mais est symétrique, voir Notation de Voigt). Le domaine élastique et le domaine plastique sont séparés par une hypersurface à cinq dimensions, appelée surface de charge. Cette hypersurface correspond à une équation de la forme

ƒ(σ_ij) = 0

où ƒ est appelée fonction d'écoulement plastique.

On peut représenter cette hypersurface dans l'espace des contraintes principales (σ_I, σ_II, σ_III). Cette surface est donc de la forme :

ƒ(σ_I, σ_II, σ_III) = 0.

Elle est souvent représentée en deux dimensions dans le cas des contraintes planes (σ_III = 0). Elle est alors réduite à une courbe, qui est intersection de la surface de charge avec le plan (σ_I, σ_II).

Si le milieu est isotrope, on peut réécrire cette équation avec les invariants du tenseur des contraintes (voir Contrainte principale > Détermination) :

ƒ(I₁, I₂, I₃) = 0.

La compression ou l'extension isotrope ne sont pas susceptibles de créer de l'écoulement plastique. On peut donc se contenter de considérer le déviateur du tenseur des contraintes, et donc les invariants de ce déviateur, J₂ et J₃ (on a J₁ = 0). L'équation peut donc se réécrire :

ƒ(J₂, J₃) = 0.

Puisque la déformation plastique se fait par cisaillement, le critère de Tresca[1] (ou critère de Tresca-Guest) considère la cission déterminée selon le cercle de Mohr. Dans le cas de contraintes planes (σ_III=0), la condition de déformation élastique devient :

|σ_I - σ_II | ≤ R_e et |σ_I - σ_III | = |σ_I | ≤ R_e et |σ_II - σ_III | = |σ_II | ≤ R_e.

Le graphique est un hexagone.

Dans le cas de contraintes tridimensionnelles, on a :

|σ_I - σ_II | ≤ R_e et |σ_I - σ_III | ≤ R_e et |σ_II - σ_III | ≤ R_e

ou encore :

max_{i ≠ j}(|σ_i - σ_j |) ≤ R_e.

La fonction d'écoulement plastique est alors

ƒ(σ_I, σ_II, σ_III) = max_{i ≠ j}(|σ_i - σ_j |) - R_e.

La surface limite est un prisme à base hexagonale dont l'axe est la trissectrice des trois axes (σ_I, σ_II, σ_III).

Le critère dit de von Mises fut formulé par Maxwell en 1865. Huber (1904) la développa partiellement dans un article en polonais[2]. Cependant, sa paternité est généralement attribuée à von Mises (1913)[3]. On parle aussi parfois de la théorie de Maxwell–Huber–Hencky–von Mises, ou de critère de Prandtl-Reuss.

Le critère de von Mises est un critère énergétique : l'énergie de déformation élastique s'écrit dans les cas simples :

U = ½σε en traction-compression

— ou —

U = ½τγ en cisaillement

et de manière générale

U = ½σ_ijε_ij

(avec la convention de sommation d'Einstein).

Cette énergie peut se séparer en deux termes :

U = U_v + U_f

avec

• U_v : énergie due au changement de volume sans changement de forme,

  ${\displaystyle \mathrm {U_{v}} ={\frac {1}{2}}\mathrm {tr} (\sigma '\varepsilon ')={\frac {1}{6}}\sigma _{ii}\varepsilon _{jj}={\frac {1-2\nu }{6\mathrm {E} }}(\sigma _{ii})^{2}={\frac {1-2\nu }{6\mathrm {E} }}(\mathrm {I} _{1})^{2}}$ ;

• U_f : énergie due au changement de forme sans changement de volume, ou énergie de distorsion plastique

  ${\displaystyle \mathrm {U_{f}} ={\frac {1}{2}}\mathrm {tr} (\sigma ''\varepsilon '')={\frac {1}{2}}s_{ij}e_{ij}={\frac {1+\nu }{4\mathrm {G} }}s'_{ij}s'_{ij}}$.

Notations

• σ' = pI : tenseur sphérique, isotrope,
  • p : pression isostatique,
  • I : matrice unité ;
• σ'' : déviateur du tenseur des contraintes ;
• E : module de Young ;
• ν : coefficient de Poisson ;
• G : module de cisaillement.

Comme indiqué précédemment, la dilatation/compression isotrope n'est pas susceptible de provoquer un écoulement plastique, le critère de plasticité ne porte donc que sur U_f. On peut écrire :

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {U_{f}} \ &={\frac {1}{12\mathrm {G} }}\left((\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+6(\sigma _{12}^{2}+\sigma _{23}^{2}+\sigma _{31}^{2})\right)\\&={\frac {1}{12\mathrm {G} }}\left((\sigma _{\mathrm {I} }-\sigma _{\mathrm {II} })^{2}+(\sigma _{\mathrm {II} }-\sigma _{\mathrm {III} })^{2}+(\sigma _{\mathrm {III} }-\sigma _{\mathrm {I} })^{2}\right)\\&={\frac {\mathrm {J} _{2}}{2\mathrm {G} }}\\\end{aligned}}}$.

où J₂ est le second invariant du déviateur du tenseur des contraintes et G est le module de cisaillement.

Cette énergie ne doit pas dépasser une valeur limite si l'on veut rester dans le domaine élastique. La valeur critique de l'énergie est donc, en prenant comme référence la traction uniaxiale (σ_II = σ_III = 0, σ_I = R_e à la limite) :

${\displaystyle \mathrm {U_{f}^{cr}} ={\frac {1}{6\mathrm {G} }}\mathrm {R_{e}} ^{2}}$.

En contraintes planes, le critère de von Mises s'écrit :

${\displaystyle {\sqrt {\sigma _{\mathrm {I} }^{2}+\sigma _{\mathrm {II} }^{2}-\sigma _{\mathrm {I} }\sigma _{\mathrm {II} }}}\leqslant \mathrm {R_{e}} }$

ce qui est l'équation d'une ellipse, ou encore

${\displaystyle \mathrm {J} _{2}\leqslant {\tfrac {1}{3}}\mathrm {R_{e}} ^{2}}$.

Ceci peut également s'écrire

${\displaystyle (\sigma _{\mathrm {I} }-\sigma _{\mathrm {II} })^{2}+(\sigma _{\mathrm {II} }-\sigma _{\mathrm {III} })^{2}+(\sigma _{\mathrm {I} }-\sigma _{\mathrm {III} })^{2}\leqslant 2\mathrm {R_{e}} ^{2}}$

ou encore

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\sqrt {(\sigma _{\mathrm {I} }-\sigma _{\mathrm {II} })^{2}+(\sigma _{\mathrm {II} }-\sigma _{\mathrm {III} })^{2}+(\sigma _{\mathrm {I} }-\sigma _{\mathrm {III} })^{2}}}\leqslant \mathrm {R_{e}} }$.

La surface limite est un cylindre dont l'axe est la trissectrice des trois axes (σ_I, σ_II, σ_III).

La fonction d'écoulement plastique peut s'écrire

${\displaystyle f(\sigma _{\mathrm {I} },\sigma _{\mathrm {II} },\sigma _{\mathrm {III} })={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\sqrt {(\sigma _{\mathrm {I} }-\sigma _{\mathrm {II} })^{2}+(\sigma _{\mathrm {II} }-\sigma _{\mathrm {III} })^{2}+(\sigma _{\mathrm {I} }-\sigma _{\mathrm {III} })^{2}}}-\mathrm {R_{e}} }$

${\displaystyle f(\mathrm {J} _{2},\mathrm {J} _{3})={\sqrt {3\mathrm {J} _{2}}}-\mathrm {R_{e}} }$

Dans le cas de poutres soumises à une flexion (générant une contrainte normale maximale σ_max) et à une torsion (générant une cission maximale τ_max), le critère devient (forme de Huber) :

${\displaystyle {\sqrt {\sigma _{\mathrm {max} }^{2}+3\tau _{\mathrm {max} }^{2}}}\leqslant \mathrm {R_{e}} }$.

Notes

1. Il existe un autre critère de von Mises qui évalue la fragilité intrinsèque d'un matériau cristallin en fonction du nombre de modes de déformation plastique possible du cristal, voir Fragilité.

2. Les deux critères précédents (Tresca et von Mises) écartent toute influence de la pression hydrostatique. Ainsi, un solide soumis à une traction (ou une compression) uniforme suivant les trois axes (${\displaystyle \sigma _{\mathrm {I} }=\sigma _{\mathrm {II} }=\sigma _{\mathrm {III} }=p}$) est placé, au vu de ces deux critères, dans une situation équivalente à celle du repos. Or il existe une limite à la pression hydrostatique qu'un solide est capable de supporter. Elle survient lorsque l'on quitte le domaine de la mécanique pour atteindre le domaine atomique :

La force nécessaire à écarteler les atomes est telle que placer un solide dans le vide ne suffit pas, à température ambiante. Pour séparer des atomes, il faut leur apporter une autre énergie. On peut atteindre la sublimation dans certaines conditions de température et de pression.

Au niveau compression, les atomes étant jointifs sur un solide, il se passe à très haute pression une réorganisation cristalline (du carbone en diamant, par exemple). Dans ce cas, le solide a changé de structure et donc de propriétés. Les modèles macroscopiques utilisés en résistance des matériaux ne s'appliquent plus.

Le critère de Rankine énonce simplement que pour rester dans le domaine élastique, aucune contrainte principale ne doit dépasser la limite d'élasticité :

max(|σ₁|, |σ₂|, |σ₃|) ≤ R_e.

Dans le cas de contraintes planes, la frontière dessine un carré dans le plan (σ₁, σ₂).

Le critère de Mohr-Caquot est un critère de rupture pour les matériaux fragiles ; c'est donc un critère de limite d'élasticité, mais pas de plasticité (puisqu'il n'y a pas de domaine plastique pour les matériaux concernés).

L'accroissement de la pression isostatique σ_m diminue l'amplitude des cercles de Mohr critiques. Pour les matériaux fragiles, les courbes enveloppes des cercles de Mohr sont deux droites[7]. La valeur de cisaillement à ne pas dépasser, τ_max, s'exprime par :

τ_{max, c} = a + k × σ_m.

où a et k sont des constantes.

Le critère de Coulomb s'applique aux ouvrage en terre. Là encore, s'il s'agit d'un critère de limite d'élasticité, ce n'est pas un critère de plasticité. La condition de stabilité est :

τ + σ⋅tan (φ) - C ≤ 0

avec:

• φ : angle de frottement interne compris entre 0 et π/2 ;
• C : cohésion du matériau.

L'hypersurface délimitant le domaine élastique peut aussi être représentée comme une surface de dimension deux dans l'espace des invariants du tenseur des contraintes I₁ et du déviateur J₁ et J₂. Cette surface est donc de la forme :

ƒ(I₁, J₁, J₂) = 0.

Dans le cas des matériaux dont la cohésion est assurée par l'adhérence (frottement), comme les sols, on utilise les variables p, q et r :

ƒ(p, q, r) = 0

avec :

• ${\displaystyle p={\tfrac {1}{3}}\mathrm {I} _{1}}$ ;
• ${\displaystyle q=\sigma _{\mathrm {eq} }={\sqrt {3\mathrm {J} _{2}}}}$, la contrainte équivalente ;
• ${\displaystyle r=3{\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}\mathrm {J} _{3}}}}$.

On peut aussi décrire l'espace par des coordonnées cylindriques, les coordonnées de Haigh-Westergaard (ξ, ρ, θ) :

ƒ(ξ, ρ, θ) = 0

avec :

• ${\displaystyle \xi ={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\mathrm {I} _{1}}$ ;
• ${\displaystyle \rho ={\sqrt {2\mathrm {J} _{2}}}}$ ;
• θ est l'angle de Lode[8], défini par ${\displaystyle \cos(3\theta )=\left({\frac {r}{q}}\right)^{3}}$.

Dans les coordonnées de Haigh-Westergaard, les contraintes principales s'écrivent :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\end{pmatrix}}={\cfrac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}\xi \\\xi \\\xi \end{pmatrix}}+{\sqrt {\cfrac {2}{3}}}\rho {\begin{pmatrix}\cos \theta \\\cos \left(\theta -{\cfrac {2\pi }{3}}\right)\\\cos \left(\theta +{\cfrac {2\pi }{3}}\right)\end{pmatrix}}}$

• [PABC 2002] P. Philibert, A. Vignes, Y. Bréchet et Combrade, Métallurgie, du minerai au matériau, Paris, Dunod, 2002, 2^e éd., 1177 p. (ISBN 978-2-10-006313-0), p. 789-792
• [Fan 2001] Jean-Louis Fanchon, Guide de mécanique, Nathan, 2001, 543 p. (ISBN 2-09-178965-8), p. 380-381, 413-416, 445-452
• Claude Hazard, Frédy Lelong et Bruno Quinzain, Mémotech — Structures métalliques, Paris, Casteilla, 1997, 352 p. (ISBN 2-7135-1751-6), p. 343
• D. Spenlé et R. Gourhant, Guide du calcul en mécanique : maîtriser la performance des systèmes industriels, Paris, Hachette, 2003, 272 p. (ISBN 2-01-168835-3), p. 204

• Écrouissage
• État limite ultime

• (fr) Les critères de plasticité : complément d'information, ENS Cachan

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