Décomposition de Schur

En algèbre linéaire, une décomposition de Schur (nommée après le mathématicien Issai Schur) d'une matrice carrée complexe M est une décomposition de la forme

M = UAU*

où U est une matrice unitaire (U*U = I) et A une matrice triangulaire supérieure.

Propriétés

Il existe une telle décomposition (non unique en général) pour toute matrice carrée complexe M[1],[2].

A étant semblable à M, elle a les mêmes valeurs propres. Et A étant triangulaire, les valeurs propres se trouvent sur sa diagonale.

Puisque A = U*MU, si M est normale (M*M = MM*) alors A aussi donc (comme elle est de plus triangulaire) elle est diagonale[3]. En particulier, si M est hermitienne (M* = M) alors A est diagonale réelle.

Cas réel

Si une matrice réelle M est trigonalisable, elle possède une décomposition de la même forme avec de plus U et A réelles, autrement dit

M = PA tP

avec P orthogonale et A réelle et triangulaire supérieure.

Si M n'est pas trigonalisable, elle a « presque » une décomposition de cette forme (avec P orthogonale et A réelle) mais où A est seulement triangulaire par blocs, avec des blocs diagonaux de polynôme caractéristique irréductible, donc d’ordre 1 ou 2.

Notes et références
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Schur decomposition » (voir la liste des auteurs).
  1. (en) Roger A. Horn et Charles R. Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, , 561 p. (ISBN 978-0-521-38632-6, lire en ligne), p. 79 et s.
  2. (en) Gene H. Golub et Charles F. Van Loan (en), Matrix Computations, Johns Hopkins University Press, , 3e éd., 694 p. (ISBN 978-0-8018-5414-9, lire en ligne), p. 313.
  3. Golub et Van Loan 1996, p. 314.
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