Déterminant de Gram

En géométrie euclidienne ou hilbertienne, le déterminant de Gram permet de calculer des volumes et de tester l'indépendance linéaire d'une famille de vecteurs. Il associe des calculs de produits scalaires et d'un déterminant. Son nom est un hommage au mathématicien danois Jørgen Pedersen Gram (1850-1916).

L'article déterminant montre comment définir le volume orienté d'un parallélotope formé par $n$ vecteurs dans un espace de dimension $n$ , sans nécessité de munir cet espace d'un produit scalaire. Les déterminants de Gram demandent de définir un tel produit scalaire, permettent le calcul des volumes des parallélotopes de toutes dimensions, mais sans notion d'orientation.

Plus généralement, il est possible de calculer des déterminants de Gram sur un espace quadratique. En dimension finie, le discriminant d'une forme bilinéaire symétrique est un cas particulier de déterminant de Gram.

Définition

Soit $E$ , un espace préhilbertien réel. Si $x 1, ..., x n$ sont $n$ vecteurs de $E$ , la matrice de Gram associée est la matrice symétrique de terme général $(x i | x j)$ (le produit scalaire des vecteurs $x i$ et $x j$ ). Le déterminant de Gram est le déterminant de cette matrice, soit

G(x_{1},\dots ,x_{n})={\begin{vmatrix}(x_{1}|x_{1})&(x_{1}|x_{2})&\dots &(x_{1}|x_{n})\\(x_{2}|x_{1})&(x_{2}|x_{2})&\dots &(x_{2}|x_{n})\\\vdots &\vdots &&\vdots \\(x_{n}|x_{1})&(x_{n}|x_{2})&\dots &(x_{n}|x_{n})\end{vmatrix}}.

Matrice de Gram

Les vecteurs colonnes de la matrice de Gram admettent les mêmes relations de dépendance linéaire (dans l'espace $\mathbb {R} ^{n}$ des n-uplets de réels) que les vecteurs $x i$ dans $E$ : si on note $(C 1, ..., C n)$ la famille des vecteurs colonnes de la matrice de Gram, on a pour toute famille de réels $(a 1, ..., a n)$

\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}=0_{E}

si et seulement si

\sum _{i=1}^{n}a_{i}C_{i}=0_{\mathbb {R^{n}} }

.

Il s'ensuit que la famille de vecteurs $(x 1, ..., x n)$ et sa matrice de Gram ont le même rang.

Déterminant de Gram

Propriétés

Écriture à l'aide d'une matrice représentative

Soit ${\mathcal {B}}$ , une base orthonormale de l'espace engendré par la famille $(x i)$ , et $X$ , la matrice représentative de $(x i)$ dans ${\mathcal {B}}$ . Autrement dit, $X$ est la matrice de taille $d \times n$ dont la $i$ -ème colonne contient les coordonnées du vecteur $x i$ dans ${\mathcal {B}}$ , $d = rg (x 1,\dots, x n) \leq n$ étant la dimension de ${\mathcal {B}}$ .

La matrice de Gram de $(x i)$ est alors $t XX$ . Elle est donc positive. Vu son rang (voir supra), elle est donc définie positive (c'est-à-dire positive et de déterminant non nul) si et seulement si les $x i$ sont linéairement indépendants.

Effet d'opérations élémentaires

la multiplication d'un des vecteurs par le réel $a$ provoque une multiplication du déterminant de Gram par $a 2$
le déterminant de Gram est invariant par permutation des $x i$
l'ajout à un vecteur d'une combinaison linéaire des autres vecteurs laisse invariant le déterminant de Gram

Propriétés

Si $x 1 ⊥ x i$ pour tout $i \in {2, ... , n}$ , alors $G(x_{1},\dotsc ,x_{n})=||x_{1}||^{2}\;G(x_{2},\dotsc ,x_{n})$ .
Un déterminant de Gram est toujours positif ou nul (puisque c'est le déterminant d'une matrice positive).
Le déterminant de Gram d'une famille de vecteurs est nul si et seulement si cette famille est liée (comme déjà dit plus haut).

Application à la distance d'un vecteur à un sous-espace vectoriel

Soit $F$ , un sous-espace vectoriel de dimension finie $n$ de $E$ muni d'une base $(x 1, ..., x n)$ , et $x \in E$ . Soit $p (x)$ le projeté orthogonal de $x$ sur $F$ . Alors[1],

G(x,x_{1},\dotsc ,x_{n})=\|x-p(x)\|^{2}G(x_{1},\dotsc ,x_{n})=d(x,F)^{2}G(x_{1},\dotsc ,x_{n})

.

Démonstration

Comme $p (x)$ est combinaison linéaire des $x i$ , par une opération élémentaire,

G(x,x_{1},\dots ,x_{n})=G(x-p(x),x_{1},\dots ,x_{n})

.

Mais $x - p (x)$ est par définition orthogonal aux $x i$ , donc

G(x,x_{1},\dots ,x_{n})=\|x-p(x)\|^{2}G(x_{1},\dots ,x_{n})=d(x,F)^{2}G(x_{1},\dots ,x_{n})

.

Application au calcul des composantes d'un vecteur dans une base quelconque

Soit $F$ , un sous-espace vectoriel de dimension finie $n$ de $E$ muni d'une base $(x 1, ..., x n)$ , et $x \in F$ .

On pose $x=\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}$ . Alors pour tout $j \in {1, ... , n}$ on a la relation

p_{j}^{2}\,{G(x_{1},\dotsc ,x_{n})}=G(x_{1},\dotsc ,x_{j-1},x,x_{j+1},\dotsc ,x_{n})

Il ne reste plus qu'à trouver le signe de chaque $p j$ pour déterminer les coordonnées de $x$ dans $(x 1, ..., x n)$ .

Interprétation géométrique

Calcul des volumes de parallélotopes

Le calcul de la distance à un sous-espace permet de montrer par récurrence que le déterminant de Gram d'une famille de $n$ vecteurs est égal au carré du volume euclidien du parallélotope correspondant.

Pour $n = 1$ , c'est bien le cas, car $G (x) = || x || 2$ .

En supposant la propriété vraie pour toute famille de $n$ vecteurs, on l'établit pour $n + 1$ : la distance au carré de $x n +1$ à $F$ , l'espace engendré par les $n$ premiers vecteurs, est le carré de la hauteur du parallélotope, et $G (x 1, ..., x n)$ est le carré du volume de la base par hypothèse de récurrence.

Le volume s'obtient donc en prenant la racine carrée du déterminant de Gram, sans qu'il soit possible de lui donner un signe (pour plus de détails sur cette dernière question, consulter l'article orientation).

Notes et références

Xavier Gourdon, Les maths en tête, Algèbre et probabilités, Ellipses, 2021 (lire en ligne), p. 275.

Liens externes

(en) Eric W. Weisstein, « Gram Determinant », sur MathWorld

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[1] Xavier Gourdon, Les maths en tête, Algèbre et probabilités, Ellipses, 2021 (lire en ligne), p. 275.