Densité de charge

Dans le cas particulier d'une densité de charge homogène, c'est-à-dire indépendante de la position, et égale à ${\displaystyle \rho _{q0}\ }$, la définition de la densité se simplifie en :

${\displaystyle Q=V\,\rho _{q0}}$

car on peut sortir ${\displaystyle \rho _{q0}}$ de l'intégrale de définition, qui se réduit alors à ${\displaystyle V}$.

Il arrive que la charge dans une région se compose de ${\displaystyle N}$ porteurs de charge que l'on peut assimiler à des charges ponctuelles, comme des particules chargées. Dans ce cas, on exprimera la densité de charge par des distributions δ de Dirac (appelées souvent improprement fonctions de Dirac). Par exemple, la densité de charge au point ${\displaystyle \mathbf {r} }$ pourra être :

${\displaystyle \rho _{q}(\mathbf {r} )=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\,\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})}$

pour des particules de charge ${\displaystyle q_{i}}$ aux points ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$.

Si toutes les particules ont la même charge ${\displaystyle q_{i}\,=\,q}$, on peut relier la densité de charge ${\displaystyle \rho _{q}(\mathbf {r} )}$ à la densité de porteurs de charge ${\displaystyle n(\mathbf {r} )}$ par :

${\displaystyle \rho _{q}(\mathbf {r} )\,=\,q\,n(\mathbf {r} )}$

La densité de charge est reliée au déplacement électrique ${\displaystyle \mathbf {D} (\mathbf {r} )\,=\,\varepsilon _{0}\,\mathbf {E} (\mathbf {r} )}$ où ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ est la permittivité du vide et ${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )}$ le champ électrique par l'équation :

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} (\mathbf {r} )\,\equiv \,\mathrm {div} \,\mathbf {D} (\mathbf {r} )\,=\,\rho _{q}(\mathbf {r} )}$

Par le théorème de flux-divergence, on obtient la forme intégrale :

${\displaystyle \int \!\!\int _{S}\,\mathbf {E} \,\cdot \,d\mathbf {S} \,=\,Q_{\mathrm {int{\acute {e}}rieur} }\,/\,\varepsilon _{0}}$

où ${\displaystyle S}$ est une surface fermée enfermant la charge ${\displaystyle Q_{\mathrm {int{\acute {e}}rieur} }}$ .

Cette équation est le théorème de Gauss, qui est une généralisation de la loi de Coulomb.

En mécanique quantique, la densité de charge correspondant à un porteur de charge ${\displaystyle q}$ est reliée à sa fonction d'onde ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}$ par :

${\displaystyle \rho _{q}(\mathbf {r} )\,=\,q\;|\psi (\mathbf {r)} |^{2}}$

avec une fonction d'onde normalisée à l'unité par :

${\displaystyle \int |\psi (\mathbf {r} )|^{2}\,\mathrm {d} \mathbf {r} \,=\,1}$

Dans le cas de ${\displaystyle n}$ particules, la fonction d'onde dépend de l'ensemble des positions ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ de toutes les particules, et comprend en particulier en général des corrélations, qui empêchent d'appliquer simplement la formule précédente.

Il faut exprimer la contribution de chacune des particules, de charge ${\displaystyle q_{i}}$ , en faisant la moyenne sur les positions de toutes les autres particules, puis faire la somme de ces contributions :

${\displaystyle \rho _{q}(\mathbf {r} )\,=\,\sum _{i=1}^{n}\,q_{i}\,\int \mathrm {d} \mathbf {r} _{1}\,\ldots \,\int \mathrm {d} \mathbf {r} _{i-1}\,\int \mathrm {d} \mathbf {r} _{i+1}\,\ldots \,\int \mathrm {d} \mathbf {r} _{n}\,|\psi (\mathbf {r} _{1},\,\ldots \,,\mathbf {r} _{i-1},\ \mathbf {r} ,\ \mathbf {r} _{i+1},\,\ldots \,,\mathbf {r} _{n})|^{2}}$

Une fois obtenue la distribution de charge, les considérations similaires à celles données pour le cas de la physique classique permettent de relier la densité de charge au champ électrique classique.

Si l'on veut un formalisme quantique complet, l'expression par des fonctions d'onde n'est pas suffisante : il faut les remplacer par des opérateurs, ainsi alors que le champ électrique.