Diagramme de Bondi

Un diagramme de Bondi est une représentation graphique de la trajectoire d'un mobile ayant une vitesse constante par rapport à un observateur. La figure 1 représente un objet B, se déplaçant dans le repère de l'observateur A, les distances étant portées en abscisse (x, horizontalement), les temps en ordonnée (t, verticalement). Les lignes faisant un angle de 45° avec les axes orthogonaux (x,t) de distance et de temps représentent les parcours de la lumière, vus par l'observateur A.

Les diagrammes de Bondi ne sont pas similaires aux diagrammes d'espace-temps de Minkowski. Le temps et les distances sont repérés du point de vue de l'observateur A.

Sur la figure 1, le mobile B croise A en O. Peu de temps après, A envoie des signaux à B, à la vitesse de la lumière. Les signaux sont émis par A pendant une durée T . Du fait de l'effet Doppler, B les reçoit pendant une durée de kT, k pouvant être désigné par facteur Doppler. Par la suite, si B envoie à son tour des signaux à A pendant un intervalle de temps T, A les recevra pendant kT.

La figure 2 représente A cherchant à calculer la vitesse relative de B.

Au croisement O, A et B se sont mis d'accord pour mettre leurs horloges à zéro. Ils ont aussi préalablement mis au point un protocole : A envoie des signaux à B à partir du croisement en O puis s'arrête d'émettre ; B émet également des signaux vers A depuis leur croisement à O, tant qu'il en reçoit.

A émet pendant un temps T. et B émet des signaux que A reçoit donc, d'après ses calculs, jusqu'au temps k(kT). B a donc cessé d'émettre en un point P de son parcours. Vu par A, le dernier photon émis par lui a mis un temps égal à k(kT) - T pour faire un aller-retour au point P. A peut ainsi calculer à quelle distance D est le point P, la vitesse de la lumière étant de c, elle est D = c(k²T - T)/2.

Comme B a mis un temps T ' = T + (k²T - T)/2 = (k² + 1)T/2, la vitesse relative de B est de v = D/T ' ; donc :

${\displaystyle v=c\cdot {\frac {k^{2}-1}{k^{2}+1}}}$

A voulait connaître la vitesse de B, il peut la calculer à partir de ses relevés d'horloge, qui lui permettent de calculer k ; il peut aussi en déduire, quand il connait une vitesse, comment calculer k :

${\displaystyle k={\sqrt {\frac {1+v/c}{1-v/c}}}}$

Sur la figure 3 sont représentées les trajectoires de mobiles B et C se déplaçant à deux vitesses différentes par rapport à A. Si la vitesse de vitesse de B par rapport à A est v_AB et si la vitesse de C par rapport à B est v_BC, il est possible de calculer la vitesse v_AC de C par rapport à A.

La méthode utilisée repose toujours sur l'utilisation du facteur k, le facteur Doppler. Pendant une durée T, A émet vers B qui reçoit pendant une durée T.k_AB. De même, B émet vers C pendant qu'il reçoit, C recevant donc sur une durée de T.k_BC. On peut en déduire que k_AC = k_AB. k_BC.

Sur le diagramme, les parcours des premiers et derniers photons sont alignés. Une simple application des règles de proportions entre éléments de triangles semblables (théorème de Thalès) donne le même résultat.

À partir du résultat établi dans la section précédente, donnant l'expression de la vitesse en fonction de k, on écrit :

${\displaystyle v_{AC}=c\cdot {\frac {(k_{AC})^{2}-1}{(k_{AC})^{2}+1}}=c\cdot {\frac {(k_{AB})^{2}\cdot (k_{BC})^{2}-1}{(k_{AB})^{2}\cdot (k_{BC})^{2}+1}}}$

Cette équation donne, après simplification, le résultat de la loi de composition des vitesses en relativité restreinte :

${\displaystyle v_{AC}={\frac {v_{AB}+v_{BC}}{1+v_{AB}\cdot v_{BC}/c^{2}}}}$

Il est également possible de retrouver la transformation de Lorentz par la méthode de Bondi.

Cependant, le calcul par le facteur Doppler k, étant la base de la méthode et de sa représentation graphique simple, l'usage commode et intuitif peut être illustré par la présentation du paradoxe des jumeaux, tel qu'il est décrit par F. Cooperstock[3].