Condition de Hölder

• Toute application höldérienne est uniformément continue[3].
• Une fonction sur un ouvert de ℝⁿ à valeurs dans ℝ^m qui est lipschitzienne est presque partout dérivable : c'est le théorème de Rademacher.
• Au contraire, pour a < 1, il existe des exemples de fonctions a-höldériennes et nulle part dérivables, comme la fonction de van der Waerden-Takagi ou la fonction de Weierstrass. Ces dernières sont définies comme sommes de séries de fonctions.
• Si l’espace métrique (X, d) est de diamètre fini, alors toute application a-höldérienne sur X est bornée.

Régularité de Sobolev

Dans cette section, I désigne un intervalle ouvert de ℝ.

Une fonction ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ admet une dérivée faible s’il existe une fonction localement intégrable g telle que pour toute fonction ${\displaystyle \varphi }$ continument dérivable à support compact dans I et à valeurs dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$,

${\displaystyle \int _{I}f\varphi '=-\int _{I}g\varphi }$.

Lorsque f et g sont de classe L^p, la fonction f est dite de classe W^1,p.

Pour 1 < p < ∞, toute fonction de classe W^1,p est continue et même a-höldérienne pour a = 1 – 1/p.

Une précision est ici nécessaire. À proprement parler, L^p est un espace de classes fonctions définies presque partout. Cependant, chaque classe contient au plus une fonction continue. Cela prend donc sens, pour un élément de L^p, de dire qu'il est (ou n'est pas) continu. Le résultat ci-dessus est un cas particulier des inégalités de Sobolev (en).

Démonstration

La fonction ${\displaystyle g}$ est localement intégrable ; on pose

${\displaystyle h(x)=f(x)-\int _{y}^{x}g(t)~\mathrm {d} t}$.

Pour toute fonction continument dérivable φ à support compact, on a :

${\displaystyle \int _{I}h(t)\varphi '(t)~\mathrm {d} t=-\int _{I}g(t)\varphi (t)~\mathrm {d} t-\int _{y\leq x}g(y)\varphi '(x)~\mathrm {d} y=0}$.

En conséquence, la fonction ${\displaystyle h}$ est constante, et il s'ensuit :

${\displaystyle f(y)-f(x)=\int _{x}^{y}g(t)~\mathrm {d} t}$.

Par l'inégalité de Hölder,

${\displaystyle \left|f(y)-f(x)\right|\leq \left\|g\right\|_{\mathrm {L} ^{p}}\left|y-x\right|^{1-1/p}}$.

Dans la définition ci-dessus, le paramètre a a été fixé dans l'intervalle ]0,1]. Quelques remarques sont nécessaires sur le choix du paramètre a et son importance.

• Le paramètre a est limité aux valeurs inférieures ou égales à 1 à cause du phénomène suivant pour les valeurs supérieures : une fonction d’une variable réelle qui vérifie la condition de Hölder pour un a > 1 est localement constante (donc constante sur tout intervalle inclus dans son domaine de définition).
• La plage de valeurs du paramètre a ∈ ]0, 1] pour lesquelles f est a-höldérienne est un sous-intervalle (non nécessairement fermé, mais pouvant aussi être trivial) de ]0,1] ; autrement dit, c'est un sous-ensemble convexe :

si 0 < a < b ≤ 1 et si f est à la fois a-höldérienne et b-höldérienne, alors elle est c-höldérienne pour tout c ∈ [a, b].

• Certains auteurs[4] incluent dans la définition la valeur a = 0. Les fonctions 0-höldériennes sont alors simplement les fonctions bornées, et la propriété précédente s'étend naturellement : si f est b-höldérienne et bornée, alors elle est c-höldérienne pour tout c ∈ [0, b].

La dimension de Hausdorff est une bonne définition de la dimension d’un espace métrique. En tout cas, elle étend la définition de la dimension des espaces vectoriels rencontrés en algèbre linéaire.

Les fonctions a-höldériennes diminuent la dimension de Hausdorff modulo un facteur ${\displaystyle 1/a}$ :

Si ${\displaystyle f\,}$ est une application ${\displaystyle a\,}$-höldérienne d’un espace métrique ${\displaystyle (X,d)\,}$ dans un espace métrique ${\displaystyle (Y,d')}$, alors

${\displaystyle \dim _{H}{f(X)}\leq {\frac {1}{a}}\dim _{H}{X}}$.

Application :

Une application continue surjective ${\displaystyle [0,1]\rightarrow [0,1]^{2}}$ ne peut pas être a-höldérienne pour ${\displaystyle a>1/2}$. En effet, la dimension d’un carré [0, 1]² est 2 et n’est pas inférieure à ${\displaystyle 1/a}$ pour ${\displaystyle a>1/2}$.

Cependant, Giuseppe Peano a donné un exemple d’une application continue surjective 1/2-höldérienne.

Le ℝ-espace vectoriel C^0,a(X) des fonctions réelles a-höldériennes bornées sur un espace métrique (X, d) est complet[5] pour la norme définie par

${\displaystyle \|f\|=\sup _{x\in X}|f(x)|+\sup _{x\neq y}{\frac {|f(x)-f(y)|}{d(x,y)^{a}}}}$.

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