Espace des positions et espace des moments

Le plus souvent en mécanique lagrangienne, le lagrangien ${\displaystyle L({\mathbf {q}},d{\mathbf {q}}/dt;t)}$ est défini dans l'espace des positions, où ${\displaystyle {\mathbf {q}}=(q_{1},q_{2},..,q_{n})}$ est un n-uplet des coordonnées généralisées. Les équations d'Euler – Lagrange du mouvement sont

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\,,\quad {\dot {q}}_{i}\equiv {\frac {dq_{i}}{dt}}\,.}$$

Le point sur une variable (comme ${\displaystyle {\dot {q}}_{i}}$) indique une dérivée par rapport au temps. On définit l'impulsion généralisée comme le moment conjugué de chaque coordonnée généralisée

$${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\,.}$$

Dans la suite, on utilisera de préférence la notion de moment (généralisé), car dans le cas général, il n'est pas possible d'identifier les ${\textstyle p_{i}}$à des impulsions au sens usuel du terme[1].

La première équation d'Euler – Lagrange prend la forme

$${\displaystyle {\dot {p}}_{i}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\,.}$$

Le lagrangien peut également être exprimé dans l'espace des moments[3] ${\textstyle L'({\mathbf {p}},d{\mathbf {p}}/dt;t)}$ où ${\displaystyle {\mathbf {p}}=(p_{1},p_{2},...,p_{n})}$ est un n-uplet des moments. Le passage d'une représentation à l'autre est effectuée par une transformation de Legendre sur la différentielle totale du lagrangien dans l'espace des coordonnées généralisées ;

$${\displaystyle dL=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}dq_{i}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}d{\dot {q}}_{i}\right)+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt=\sum _{i=1}^{n}({\dot {p}}_{i}dq_{i}+p_{i}d{\dot {q}}_{i})+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\,,}$$

où les dérivées partielles de ${\displaystyle L}$ sont remplacées par les moments généralisés et les équations d'Euler–Lagrange. La règle de la dérivée des produits de fonctions [4] permet d'échanger les différentielles en coordonnées généralisées et en vitesses contre les différentielles en moments généralisés et leurs dérivées temporelles,

$${\displaystyle {\dot {p}}_{i}dq_{i}=d(q_{i}{\dot {p}}_{i})-q_{i}d{\dot {p}}_{i}\,,\,{\displaystyle p_{i}d{\dot {q}}_{i}=d({\dot {q}}_{i}p_{i})-{\dot {q}}_{i}dp_{i},}}$$

après substitution dans la différentielle totale du lagrangien, on obtient

$${\displaystyle d\left[L-\sum _{i=1}^{n}(q_{i}{\dot {p}}_{i}+{\dot {q}}_{i}p_{i})\right]=-\sum _{i=1}^{n}({\dot {q}}_{i}dp_{i}+q_{i}d{\dot {p}}_{i})+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\,.}$$

Comme la différentielle totale du lagrangien dans l'espace des moments s'écrit

$${\displaystyle dL'=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial L'}{\partial p_{i}}}dp_{i}+{\frac {\partial L'}{\partial {\dot {p}}_{i}}}d{\dot {p}}_{i}\right)+{\frac {\partial L'}{\partial t}}dt,}$$

par comparaison entre les différentielles totales des deux lagrangiens, on déduit l'expression du lagrangien ${\textstyle L'}$ et ses coordonnées généralisées :

$${\displaystyle L'=L-\sum _{i=1}^{n}(q_{i}{\dot {p}}_{i}+{\dot {q}}_{i}p_{i})\,,\quad -{\dot {q}}_{i}={\frac {\partial L'}{\partial p_{i}}}\,,\quad -q_{i}={\frac {\partial L'}{\partial {\dot {p}}_{i}}}.}$$

La combinaison des deux dernières équations donne les équations d'Euler – Lagrange dans l'espace des moments

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L'}{\partial {\dot {p}}_{i}}}={\frac {\partial L'}{\partial p_{i}}}\,.}$$

L'intérêt de la transformation de Legendre est qu'elle donne la relation entre les deux lagrangiens et leurs variables. Les deux formes des équations d'Euler-Lagrange sont équivalentes et contiennent les mêmes informations sur la dynamique du système. L'expression dans l'espace des moments peut être plus utile lorsque la quantité de mouvement ou le moment cinétique apparait dans le lagrangien.

En mécanique hamiltonienne, contrairement à la mécanique lagrangienne qui utilise soit l'ensemble des coordonnées, soit l'ensemble des moments, les équations du mouvement placent les coordonnées et leurs moments sur un pied d'égalité. Pour un système avec l'hamiltonien ${\displaystyle H({\vec {q}},{\vec {p}};t)}$, les équations d'Hamilton sont :

$${\displaystyle {\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\,,\quad {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\,.}$$

Supposons que nous ayons une fonction d'onde tridimensionnelle dans l'espace de position ψ(r), alors nous pouvons écrire cette fonction comme une somme pondérée de fonctions de base orthogonales ψ_j(r) :${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\sum _{j}\phi _{j}\psi _{j}(\mathbf {r} )}$ou, dans le cas continu, comme une intégrale

$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\int _{\mathbf {k} {\text{-space}}}\phi (\mathbf {k} )\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\mathrm {d} ^{3}\mathbf {k} }$$

Si l'ensemble des fonctions ${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )}$ est défini comme l'ensemble des fonctions propres de l'opérateur de quantité de mouvement, la fonction ${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )}$ détient toutes les informations nécessaires pour reconstruire ψ(r) et est donc une description alternative pour l'état ${\displaystyle \psi }$.

En mécanique quantique, l'opérateur de quantité de mouvement est donné par${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }},}$

dont les fonctions propres sont :

$${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{3}}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$$

avec les valeurs propres correspondante ħ k. Alors

$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{3}}}\int _{\mathbf {k} {\text{-space}}}\phi (\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\mathrm {d} ^{3}\mathbf {k} ,}$$

ce qui montre que la représentation de l'impulsion est liée à la représentation de la position par une transformée de Fourier[6].

Inversement, une fonction d'onde tridimensionnelle dans l'espace des impulsions ${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )}$ peut être exprimée comme une somme pondérée de fonctions de base orthogonales ${\displaystyle \phi _{j}(\mathbf {k} )}$,

$${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )=\sum _{j}\psi _{j}\phi _{j}(\mathbf {k} ),}$$

ou en tant qu'intégrale,

$${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )=\int _{\mathbf {r} {\text{-space}}}\psi (\mathbf {r} )\phi _{\mathbf {r} }(\mathbf {k} )\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} .}$$

L' opérateur de position est donné par

$${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =i\hbar {\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}=i{\frac {\partial }{\partial \mathbf {k} }}}$$

avec fonctions propres

$${\displaystyle \phi _{\mathbf {r} }(\mathbf {k} )={\frac {1}{\left({\sqrt {2\pi }}\right)^{3}}}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$$

et les valeurs propres r. Ainsi, une décomposition similaire de ${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )}$ peut être faite en termes de fonctions propres de cet opérateur, qui s'avère être la transformée de Fourier inverse[6],

$${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{3}}}\int _{\mathbf {r} {\text{-space}}}\psi (\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} .}$$