Fonction Schur-convexe

En mathématique, une fonction Schur-convexe (ou convexe au sens de Schur), aussi appelée S-convexe, fonction isotone ou fonction préservant l'ordre est une fonction telle qu'elle conserve les relations d'ordre : pour tout tels que x est majorée par y, f satisfait f(x) ≤ f(y).

Nommée d'après Issai Schur, les fonctions Schur-convexes sont utilisées dans l'étude de la majorisation. Toute fonction qui est convexe et symétrique est aussi Schur-convexe, mais l'implication inverse n'est pas toujours vraie. Par contre, toute fonction Schur-convexe est symétrique (par rapport aux permutations de ses arguments)[1].

Fonction Schur-concave

Une fonction f est dite Schur-concave si son opposée, -f, est Schur-convexe.

Critère de Schur-Ostrowski

Si f est symétrique et possède des dérivées partielles, alors f est Schur-convexe si et seulement si pour tout 1 ≤ ijd et en tout point de  :

[2].

Exemples

  • est Schur-concave et est Schur-convexe (ceci se déduit rapidement de la définition des fonctions).
  • La fonction entropie de Shannon est Schur-concave.
  • La fonction entropie de Rényi est aussi Schur-concave.
  • Assez naturellement, les fonctions sont toutes Schur-convexes pour k ≥ 1.
  • La fonction est Schur-concave, sur le domaine . De même, les fonctions symétriques élémentaires sont Schur-concaves.
  • Une interprétation naturelle de la majorisation est que si alors x est plus étalé que y. Il est dès lors naturel de se demander si les mesures statistiques de variabilité sont Schur-convexes. La variance et déviation standard sont toutes les deux des fonctions Schur-convexes mais la valeur absolue des écarts ne l'est pas.
  • Si g est une fonction convexe définie sur un intervalle réel, alors est Schur-convexe.
  • Un exemple en probabilité : si sont des variables aléatoires échangeables, alors la fonction espérance est Schur-convexe comme une fonction du multi-indice , sous réserve que l'espérance existe.
  • Le coefficient de Gini est strictement Schur-concave.

Références

  1. (en) A. Wayne Roberts et Dale E. Varberg, Convex functions, New York, Academic Press, , 299 p. (ISBN 978-0-08-087372-5, lire en ligne), p. 258.
  2. (en) Josip E. Peajcariaac et Y. L. Tong, Convex Functions, Partial Orderings, and Statistical Applications, Academic Press, , 467 p. (ISBN 978-0-08-092522-6, lire en ligne), p. 333.

Voir aussi

Fonction quasi-convexe

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