Fonction Schur-convexe

En mathématique, une fonction Schur-convexe (ou convexe au sens de Schur), aussi appelée S-convexe, fonction isotone ou fonction préservant l'ordre est une fonction $f:\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \mathbb {R}$ telle qu'elle conserve les relations d'ordre : pour tout $x,y\in \mathbb {R} ^{d}$ tels que $x$ est majorée par $y$ , $f$ satisfait $f (x) \leq f (y)$ .

Nommée d'après Issai Schur, les fonctions Schur-convexes sont utilisées dans l'étude de la majorisation. Toute fonction qui est convexe et symétrique est aussi Schur-convexe, mais l'implication inverse n'est pas toujours vraie. Par contre, toute fonction Schur-convexe est symétrique (par rapport aux permutations de ses arguments)[1].

Fonction Schur-concave

Une fonction $f$ est dite Schur-concave si son opposée, - $f$ , est Schur-convexe.

Critère de Schur-Ostrowski

Si $f$ est symétrique et possède des dérivées partielles, alors $f$ est Schur-convexe si et seulement si pour tout 1 ≤ i ≠ j ≤ d et en tout point de $\mathbb {R} ^{d}$ :

(x_{i}-x_{j})\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)\geq 0

[2].

Exemples

$f(x)=\min(x)$ est Schur-concave et $f(x)=\max(x)$ est Schur-convexe (ceci se déduit rapidement de la définition des fonctions).
La fonction entropie de Shannon $\sum _{i=1}^{d}{P_{i}\cdot \log _{2}{\frac {1}{P_{i}}}}$ est Schur-concave.
La fonction entropie de Rényi est aussi Schur-concave.
Assez naturellement, les fonctions $\sum _{i=1}^{d}{x_{i}^{k}}$ sont toutes Schur-convexes pour $k \geq 1$ .
La fonction $f(x)=\prod _{i=1}^{n}x_{i}$ est Schur-concave, sur le domaine $(\mathbb {R} _{+})^{d}$ . De même, les fonctions symétriques élémentaires sont Schur-concaves $(\mathbb {R} _{+})^{d}$ .
Une interprétation naturelle de la majorisation est que si $x\succ y$ alors $x$ est plus étalé que $y$ . Il est dès lors naturel de se demander si les mesures statistiques de variabilité sont Schur-convexes. La variance et déviation standard sont toutes les deux des fonctions Schur-convexes mais la valeur absolue des écarts ne l'est pas.
Si $g$ est une fonction convexe définie sur un intervalle réel, alors $\sum _{i=1}^{n}g(x_{i})$ est Schur-convexe.
Un exemple en probabilité : si $X_{1},\dots ,X_{n}$ sont des variables aléatoires échangeables, alors la fonction espérance $\mathbb {E} \left(\prod _{j=1}^{n}X_{j}^{a_{j}}\right)$ est Schur-convexe comme une fonction du multi-indice $a=(a_{1},\dots ,a_{n})$ , sous réserve que l'espérance existe.
Le coefficient de Gini est strictement Schur-concave.

Références

(en) A. Wayne Roberts et Dale E. Varberg, Convex functions, New York, Academic Press, 1973, 299 p. (ISBN 978-0-08-087372-5, lire en ligne), p. 258.
(en) Josip E. Peajcariaac et Y. L. Tong, Convex Functions, Partial Orderings, and Statistical Applications, Academic Press, 1992, 467 p. (ISBN 978-0-08-092522-6, lire en ligne), p. 333.

Voir aussi

Fonction quasi-convexe

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[1] (en) A. Wayne Roberts et Dale E. Varberg, Convex functions, New York, Academic Press, 1973, 299 p. (ISBN 978-0-08-087372-5, lire en ligne), p. 258.

[2] (en) Josip E. Peajcariaac et Y. L. Tong, Convex Functions, Partial Orderings, and Statistical Applications, Academic Press, 1992, 467 p. (ISBN 978-0-08-092522-6, lire en ligne), p. 333.