Fonction centrale sur un groupe fini

Soit G un groupe (fini ou pas). Une application définie sur G est une fonction centrale si elle est constante sur chaque classe de conjugaison.

• Sur tout groupe de torsion G (en particulier sur tout groupe fini), la fonction qui à tout élément de G associe le nombre de ses conjugués est centrale.
• Tout caractère d'une représentation d'un groupe fini est une fonction centrale sur ce groupe.

Pour tout corps K et tout ensemble X, K^X désigne l'espace vectoriel des applications de X dans K. Lorsque X est fini, la base canonique de cet espace est la famille (δ_x)_x∈X, où δ_x(y) vaut 1 pour y = x et vaut 0 pour les autres y ∈ X.

Dans K^G, que G soit fini ou pas,

l'ensemble des fonctions centrales sur G à valeurs dans K est un sous-espace vectoriel naturellement isomorphe à K^C, où C désigne l'ensemble des classes de conjugaison de G.

Lorsque G est fini, la base canonique de ce sous-espace est donc la famille (1_c)_c∈C des fonctions indicatrices des classes de conjugaison, et sa dimension est le nombre h de ces classes. L'indicatrice d'une classe de conjugaison c se décompose dans la base canonique de K^G en : 1_c = ∑_s∈cδ_s.

Si la caractéristique de K ne divise pas g (autrement dit : si g est inversible dans K), le théorème de Maschke assure que dans une représentation de G, toute sous-représentation est facteur direct, ce qui permet de démontrer que toute représentation de G est somme directe de représentations irréductibles.

On montre alors, sous l'hypothèse supplémentaire que le polynôme X^g - 1 est scindé sur K (ou même seulement le polynôme X^e – 1, où e désigne l'exposant de G) :

• Soient (S,ρ) une K-représentation irréductible de degré n et de caractère χ, et f une fonction centrale à valeurs dans K. Alors, l'endomorphisme ρ_f de S défini par${\displaystyle \rho _{f}=\sum _{s\in G}f(s)\rho _{s}}$est l'homothétie de rapport${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{s\in G}f(s)\chi (s)}$.

(La division par n a bien un sens dans cet énoncé, car n est un diviseur de g, qui a été supposé inversible dans K.)

On en déduit que pour la forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur K^G définie par

${\displaystyle (f_{1}|f_{2})={\frac {1}{g}}\sum _{s\in G}f_{1}(s)f_{2}(s^{-1})}$,

• les caractères irréductibles forment une base orthonormée du sous-espace des fonctions centrales[1].

Il en résulte (en considérant la dimension de ce sous-espace) :

• Le nombre de caractères irréductibles est égal au nombre h de classes de conjugaison du groupe.

Le groupe n'a donc sur K (à équivalence près) que h représentations irréductibles ρ₁, … , ρ_h, dont les caractères χ₁, … , χ_h forment une base de l'espace des fonctions centrales.

Une conséquence fondamentale est :

• Si K est de caractéristique nulle alors deux représentations ayant même caractère sont équivalentes.

En effet, toute représentation (à équivalence près) ρ = ⊕n_iρ_i est alors entièrement déterminée par son caractère χ = ∑n_iχ_i.

Du fait que les χ_i forment une base orthonormée, on déduit aussi[2] :

• Si n(s) désigne le nombre de conjugués d'un élément s de G et si t est un élément de G non conjugué à s, alors :

${\displaystyle \sum _{i=1}^{h}\chi _{i}(s^{-1})\chi _{i}(s)={\frac {g}{n(s)}}\quad {\text{et}}\quad \sum _{i=1}^{h}\chi _{i}(s^{-1})\chi _{i}(t)=0}$.

Démonstrations

• Soit ρ une K-représentation irréductible de degré n et de caractère χ, alors n est inversible dans K et pour toute fonction centrale f à valeurs dans K, l'endomorphisme ρ_f de S défini par ρ_f = ∑_s∈Gf(s)ρ_s est l'homothétie de rapport (1/n)∑_s∈Gf(s)χ(s).

Le corollaire 1 de l'article « Lemme de Schur » montre n est inversible dans K, et que si les égalités suivantes sont vérifiées, alors ρ_f est une homothétie :

${\displaystyle \forall t\in G\quad \rho _{f}\circ \rho _{t}=\rho _{t}\circ \rho _{f}}$.

Or, on a les égalités suivantes :

${\displaystyle \forall t\in G\quad \rho _{t}^{-1}\circ \rho _{f}\circ \rho _{t}=\sum _{s\in G}f(s)\rho _{t}^{-1}\circ \rho _{s}\circ \rho _{t}=\sum _{s\in G}f(s)\rho _{t^{-1}st}=\sum _{u\in G}f(tut^{-1})\rho _{u}=\sum _{u\in G}f(u)\rho _{u}=\rho _{f}}$.

Soit k le rapport de l'homothétie. En notant Tr(ρ_f) la trace de ρ_f on a :

${\displaystyle nk=\mathrm {Tr} (\rho _{f})=\mathrm {Tr} \left(\sum _{s\in G}f(s)\rho _{s}\right)=\sum _{s\in G}f(s)\mathrm {Tr} (\rho _{s})=\sum _{s\in G}f(s)\chi (s)}$.

• Les caractères irréductibles forment une base orthonormée du sous-espace des fonctions centrales.

Le fait qu'ils forment une famille orthonormale est une conséquence immédiate du corollaire 4 de l'article « Lemme de Schur ». Il suffit donc de démontrer que la famille est génératrice, ou encore, en définissant f* par f*(s)=f(s^-1), que si f est une fonction centrale à valeurs dans K telle que f* est orthogonale à tous les caractères irréductibles, alors f est la fonction nulle.

Pour toute représentation irréductible ρ, de caractère χ, l'application ρ_f est nulle d'après le point précédent, car f* est supposée orthogonale à χ donc le rapport d'homothétie est nul. Considérons maintenant la représentation régulière λ. Comme elle est somme directe de représentations irréductibles, λ_f est aussi nulle. On a alors les égalités :

${\displaystyle 0=\lambda _{f}(\delta _{1})=\sum _{s\in G}f(s)\lambda _{s}(\delta _{1})=\sum _{s\in G}f(s)\delta _{s}=f}$,

ce qui termine la démonstration.

• Si n(s) désigne le nombre de conjugués d'un élément s de G et si t est un élément de G non conjugué à s, alors :

${\displaystyle \sum _{i=1}^{h}\chi _{i}(s^{-1})\chi _{i}(s)={\frac {g}{n(s)}}\quad {\text{et}}\quad \sum _{i=1}^{h}\chi _{i}(s^{-1})\chi _{i}(t)=0}$.

Soit c la classe de conjugaison de s (son cardinal n(s) est un diviseur de g). La décomposition de son indicatrice 1_c sur la base orthonormée des caractères irréductibles montre que :

${\displaystyle \mathbf {1} _{c}=\sum _{i=1}^{h}\alpha _{i}\chi _{i}\quad {\text{avec}}\quad \alpha _{i}=(\mathbf {1} _{c}|\chi _{i})={\frac {n(s)}{g}}\chi _{i}(s^{-1})}$

et donc :

${\displaystyle 1=\mathbf {1} _{c}(s)={\frac {n(s)}{g}}\sum _{i=1}^{h}\chi _{i}(s^{-1})\chi _{i}(s)\quad {\text{et}}\quad 0=\mathbf {1} _{c}(t)=\sum _{i=1}^{h}\chi _{i}(s^{-1})\chi _{i}(t)}$.

Remarque

Lorsque K est un sous-corps de ℂ, il est courant[3], au lieu de la forme bilinéaire symétrique ci-dessus, d'utiliser sur K^G un produit hermitien :

${\displaystyle \langle f_{1}\mid f_{2}\rangle ={\frac {1}{g}}\sum _{s\in G}f_{1}(s){\overline {f_{2}(s)}}}$.

Si f₂ est un caractère, ou plus généralement si, pour tout élément s du groupe, f₂(s^-1) est égal à f₂(s) (le conjugué de f₂(s)), alors (f₁|f₂) = ⟨f₁|f₂⟩. Par conséquent, les caractères irréductibles forment aussi, pour ce produit hermitien, une base orthonormée de l'espace des fonctions centrales.

La K-algèbre du groupe G, notée K[G], est définie en munissant l'espace vectoriel K^G du produit de convolution ∗, décrit par :

${\displaystyle \forall a,b\in K^{G},\quad \forall u\in G,\qquad (a*b)(u)=\sum _{s,t\in G,st=u}a(s)b(t).}$

Les fonctions centrales de G dans K sont alors caractérisées par  :

• Le centre de l'anneau unitaire K[G] coïncide avec le sous-espace des fonctions centrales.

En effet, une fonction f = ∑_t∈Gf(t)δ_t appartient au centre si et seulement si elle commute avec tous les δ_s, ce qui équivaut à la condition que f soit centrale, puisque (δ_s⁻¹∗f∗δ_s)(t) = f(sts⁻¹).

Le théorème de Maschke se reformule en disant que si g est inversible dans K, alors tout sous-module d'un K[G]-module est facteur direct, ou plus synthétiquement : que K[G] est semi-simple. Si l'on suppose de plus que K est algébriquement clos alors, d'après le théorème d'Artin-Wedderburn pour les K-algèbres semi-simples de dimension finie, K[G] est somme directe d'algèbres d'endomorphismes de certains K-espaces vectoriels. Plus précisément, si (S_i) où i varie de 1 à h est une famille maximale d'espaces irréductibles non isomorphes deux à deux, alors :

${\displaystyle K[G]\;\simeq \;\bigoplus _{i=1}^{h}{\mathcal {L}}_{K}(S_{i}).}$

Le centre de K[G] est donc isomorphe à K^h, et on retrouve les homothéties de la section précédente.