Fonction de Liouville

On note ${\displaystyle L(n)=\sum _{k=1}^{n}\lambda (k)}$. Pólya avait conjecturé en 1919[2] que ${\displaystyle \forall n>1,\;L(n)\leqslant 0}$,ce qui fut réfuté en 1958 par Colin Brian Haselgrove[3]. Minoru Tanaka trouva en 1980 le plus petit contre-exemple n[4]^,[2] : L (906 150 257) = 1. On a même L(n) > 0,061867 √n pour une infinité d'entiers n[4]. On ignore si le nombre de changements de signes de L est fini[2], et pour cause : l'hypothèse de Riemann et la simplicité de tous les zéros de la fonction zêta de Riemann en résulteraient[4].

Autre conjecture (parfois attribuée à tort à Pál Turán) : si l'on définit ${\displaystyle M(n)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\lambda (k)}{k}}}$, alors il semblait plausible que M(n) ≥ 0 pour n suffisamment grand, ce qui a été aussi réfuté en 1958 par Haselgrove[3]^,[4]. Cette propriété, si elle avait été vraie, aurait entraîné, comme l'avait montré Pál Turán, la véracité de l'hypothèse de Riemann.

Une conjecture de Sarvadaman Chowla énonce que, pour ${\displaystyle k}$ nombres entiers strictement positifs ${\displaystyle b_{i}}$ tous distincts et ${\displaystyle k}$ nombres entiers strictement positifs ${\displaystyle a_{i}}$ avec ${\displaystyle a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\neq 0}$ pour ${\displaystyle 1\leq i<j\leq k}$, on a :

${\displaystyle \sum _{1\leq n\leq x}\lambda (a_{1}n+b_{1})\cdot \cdot \cdot \lambda (a_{k}n+b_{k})=o(x)}$ quand ${\displaystyle x\to \infty }$,

où ${\displaystyle o}$ désigne le symbole de Landau.

La conjecture est vraie pour ${\displaystyle k=1}$ puisque équivalente au théorème des nombres premiers ; elle est ouverte pour ${\displaystyle k\geq 2}$.

En 2015, Kaisa Matomäki, Maksym Radziwill et Terence Tao ont réalisé des progrès, en ce qui concerne une version moyenne de la conjecture[5]. En 2016, Terence Tao a démontré une version logarithmique de la conjecture dans le cas ${\displaystyle k=2}$[6]. Une conjecture similaire se formule de la même façon, en remplaçant la fonction de Liouville par la fonction de Möbius.