Fonction étagée

En mathématiques et en analyse :

Dans les trois acceptions, chacune de ces fonctions peut s'exprimer comme une combinaison linéaire (donc finie) de fonctions caractéristiques.

Ces fonctions jouent un rôle important en théorie de l'intégration :

Propriété caractéristique commune

Propriété  Une fonction est simple si et seulement si elle est combinaison linéaire de fonctions caractéristiques.

Pour les fonctions simples (respectivement étagée, en escalier), les propriétés suivantes découlent de la définition et de la propriété précédente :

  • Une fonction simple est une combinaison linéaire de fonctions caractéristiques de la forme
est une suite finie d'ensembles et est une suite finie de valeurs dans (ou ).
  • Parmi les diverses représentations possibles exprimées à l'aide de la relation précédente, il en existe une particulière (qualifiée de canonique) pour laquelle[1]
    • les ensembles sont deux à deux disjoints,
    • les valeurs sont distinctes et non nulles,
    • si et seulement si .
  • La somme ou le produit de deux fonctions simples, ou encore le produit d'une fonction simple par un réel (ou un complexe) sont toujours des fonctions simples.
  • L'ensemble des fonctions simples constitue une (ou )-algèbre commutative, et a fortiori un espace vectoriel.
  • Pour une fonction étagée, donc mesurable et définie sur un espace mesurable , les ensembles de la représentation canonique sont mesurables.

Densité des fonctions étagées

Théorème  

  1. Toute fonction mesurable positive est limite simple d'une suite croissante de fonctions étagées.
  2. Toute fonction mesurable est limite simple de fonctions étagées.
  3. Toute fonction mesurable bornée est limite uniforme de fonctions étagées.

Intégration d'une fonction étagée

En théorie de la mesure, définir l'intégrale d'une fonction étagée positive est l'une des premières étapes conduisant à la définition de l'intégrale par rapport à une mesure positive.

Soit un espace mesuré. Pour tout on définit

Pour une fonction étagée positive la linéarité de l'intégrale impose la relation suivante :

Pour accorder à cette relation le statut de définition, il convient de s'assurer de sa consistance en vérifiant que l'intégrale d'une fonction étagée positive est indépendante de sa représentation sous forme de combinaison linéaire de fonctions caractéristiques.

On vérifie ensuite que cette application est linéaire, et qu'elle est croissante (si alors ) dès que est une mesure positive.

Dans le cas particulier où est un segment réel muni de la mesure de Lebesgue, est définie en particulier sur les fonctions en escalier, et satisfait la relation de Chasles.

Intégrale d'une fonction en escalier sur un segment

Les fonctions étagées sont à la théorie de l'intégration de Lebesgue ce que les fonctions en escalier sont à l'intégration de Riemann ou de Kurzweil-Henstock.

Par exemple, dans le cas particulier où sont des intervalles contigus de même longueur , et où les sont les évaluations d'une fonction au centre des intervalles , l'expression est un cas particulier de somme de Riemann[2].

Généralement présentées sur un intervalle donné, les fonctions en escaliers peuvent être prolongées par 0 sur entier, ce qui permet de s'affranchir de l'intervalle et de considérer un unique ensemble de fonctions.

Notes

  1. Pour une fonction en escalier, les ensembles Ak sont l’union d'un nombre fini d'intervalles.
  2. In est d'ailleurs une approximation couramment utilisée pour le calcul numérique d'une intégrale, plus connue sous le nom de méthode du point milieu.
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