Fonction numérique

Pour une fonction définie par une expression combinant les fonctions de référence à partir d’une ou plusieurs variables réelles, le domaine de définition est contraint par les valeurs interdites. En particulier, le dénominateur des fractions doit être non nul, le radicande doit être positif et l’argument du logarithme doit être strictement positif.

Pour une équation différentielle ordinaire, le théorème de Cauchy-Lipschitz assure que des conditions initiales définissent une unique solution maximale sous une hypothèse de régularité. Pour une équation aux dérivées partielles, il n’y a pas de méthode générale de résolution mais certains procédés permettent d’approcher les solutions.

Pour une série entière, le domaine de définition est défini par son rayon de convergence mais peut être étendu dans le plan complexe par prolongement analytique.

La variation d'une fonction f entre deux points a et b de son domaine de définition est la différence f(b) – f(a). Le signe de cette différence permet donc de savoir en lequel de ces deux points la fonction admet sa plus grande valeur.

Dans certains cas, on peut définir une fonction dérivée qui mesure les variations locales. Lorsque la variable est définie sur une réunion d'intervalles réels, cette dérivée est la limite du taux d'accroissement. Lorsque la variable est entière, la dérivée est simplement la différence entre deux termes consécutifs. Pour des fonctions de plusieurs variables réelles, ce rôle est rempli par les dérivées partielles et plus généralement les dérivées directionnelles. Sur un graphe, on peut calculer les variations pour chaque couples de nœuds voisins.

Cette dérivée permet de localiser les extrema de la fonction. En effet, pour une fonction dérivable d'une ou plusieurs variables réelles, un extremum local est toujours atteint au bord du domaine ou en un point critique, c'est-à-dire en un point où la dérivée s'annule. Pour une suite numérique, les extrema locaux sont atteints aux points où la dérivée change de signe. Sur un graphe, les extrema locaux sont atteints aux nœuds en lesquels toutes les variations avec les nœuds voisins sont de même signe.

Quitte à soustraire globalement une constante à la fonction, la recherche d'un antécédent revient à la recherche des zéros, c'est-à-dire les antécédents de 0. De même, la résolution d'une inéquation se ramène à l'étude du signe d'une fonction.

En dehors des cas où l'équation f(x) = 0 se résout algébriquement par factorisation, l'analyse des variations permet de tenter d'approcher des solutions.

Avec une seule variable réelle ou entière, le signe de la dérivée permet de décomposer le domaine de définition en intervalles sur lesquels la fonction est monotone. Par dichotomie ou à l'aide de méthodes plus sophistiquées (notamment la méthode de Newton), on détermine assez rapidement les intervalles sur lesquels la fonction est positive.

Pour une fonction de plusieurs variables, différents algorithmes comme la descente de gradient ou le recuit simulé peuvent aboutir à une localisation d'un zéro puis à l'approximation d'une ligne de niveau.

Étant donné un ensemble X, l’ensemble des fonctions numériques sur X est souvent noté ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X,\mathbb {R} )}$ ou ${\displaystyle \mathbb {R} ^{X}}$. Il s’agit d’un espace vectoriel réel et même d’une algèbre commutative.

Lorsque l’ensemble X est muni d’une topologie, l’espace ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X,\mathbb {R} )}$ admet plusieurs structures d’espace vectoriel topologique classiques, comme la topologie compacte-ouverte.

L’ensemble des fonctions numériques bornées sur X constitue une sous-algèbre ${\displaystyle \mathrm {B} (X,\mathbb {R} )\subset {\mathcal {F}}(X,\mathbb {R} )}$, complète pour la norme infini ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$ de la convergence uniforme. Cette algèbre de Banach est parfois notée également ℒ^∞(X) ou ℓ^∞(X).

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