Application multilinéaire

Soient un entier k > 0 et des espaces vectoriels ${\displaystyle E_{1},\ldots ,E_{k},F}$ sur un même corps K. Une application

${\displaystyle f:E_{1}\times \ldots \times E_{k}\to F}$

est dite multilinéaire (ou plus précisément : k-linéaire) si elle est linéaire en chaque variable, c'est-à-dire si, pour des vecteurs ${\displaystyle x_{1},...,x_{k},x'_{i}}$ et des scalaires a et b,

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{i-1},ax_{i}+bx'_{i},x_{i+1},\dots ,x_{k})=af(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{k})+bf(x_{1},\dots ,x'_{i},\dots x_{k}).}$

De façon informelle, on peut se représenter une application k-linéaire comme une application produit de k termes, avec une propriété de type distributivité.

L'ensemble des applications k-linéaires de ${\displaystyle E_{1}\times \ldots \times E_{k}}$ dans F est un sous-espace vectoriel de l'espace F^{E₁×…×E_n} de toutes les applications de E₁×…×E_n dans F. C'est donc un espace vectoriel, que l'on note ${\displaystyle L(E_{1},\ldots ,E_{k};F)}$, ou plus simplement ${\displaystyle L_{k}(E;F)}$ lorsque ${\displaystyle E_{1}=\ldots =E_{k}=E}$. L'espace ${\displaystyle L_{k}(E;K)}$ des formes k-linéaires sur E est noté ${\displaystyle L_{k}(E)}$.

Si k = 1, on retrouve l'espace ${\displaystyle L(E;F)}$ des applications linéaires de E dans F. En revanche si k > 1, il ne faut pas confondre l'espace d'applications multilinéaires ${\displaystyle L(E_{1},\ldots ,E_{k};F)}$ avec l'espace ${\displaystyle L(E_{1}\times \ldots \times E_{k};F)}$ des applications linéaires sur l'espace vectoriel produit ${\displaystyle E_{1}\times \ldots \times E_{k}}$. Par exemple, de K×K dans K, la multiplication ${\displaystyle (x_{1},x_{2})\mapsto x_{1}x_{2}}$ est bilinéaire mais pas linéaire, tandis que la projection ${\displaystyle (x_{1},x_{2})\mapsto x_{1}}$ est linéaire mais pas bilinéaire.

Si ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{1},\ldots ,{\mathcal {B}}_{k}}$ (finies ou pas) sont des bases respectives des espaces ${\displaystyle E_{1},\ldots ,E_{k}}$, l'application (linéaire) de restriction

${\displaystyle L(E_{1},\ldots ,E_{k};F)\to F^{{\mathcal {B}}_{1}\times \ldots \times {\mathcal {B}}_{k}},\qquad f\mapsto f_{|{\mathcal {B}}_{1}\times \ldots \times {\mathcal {B}}_{k}}}$

est bijective (donc est un isomorphisme d'espaces vectoriels), c'est-à-dire qu'une application k-linéaire est entièrement déterminée par ses valeurs sur les k-uplets de vecteurs des bases, et que ces valeurs peuvent être des vecteurs quelconques de F.

Plus concrètement, et en supposant pour simplifier les notations que

${\displaystyle E_{1}=\ldots =E_{k}\quad {\text{et}}\quad {\mathcal {B}}_{1}=\ldots ={\mathcal {B}}_{k}=(e_{i})_{i=1,\ldots ,n},}$

on peut décomposer chaque vecteur

${\displaystyle x_{j}=\sum _{i=1}^{n}X_{i,j}e_{i}.}$

Alors l'expression d'une forme k-linéaire sur le k-uplet ${\displaystyle x_{1},...,x_{k}}$ devient

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{k})=f\left(\sum _{i_{1}=1}^{n}X_{i_{1},1}e_{i_{1}},\dots ,\sum _{i_{k}=1}^{n}X_{i_{k},k}e_{i_{k}}\right)=\sum _{i_{1}=1}^{n}\dots \sum _{i_{k}=1}^{n}\prod _{j=1}^{k}X_{i_{j},j}f(e_{i_{1}},\dots ,e_{i_{k}}).}$

La connaissance des ${\displaystyle n^{k}}$ valeurs ${\displaystyle f(e_{i_{1}},\dots ,e_{i_{k}})}$ détermine entièrement l'application k-linéaire f.

En particulier, l'espace ${\displaystyle L_{k}(E)}$ des formes k-linéaires sur un espace vectoriel E de dimension n a pour dimension ${\displaystyle n^{k}}$.

Une application ${\displaystyle f\in L_{k}(E;F)}$ est dite

• symétrique si l'échange de deux vecteurs ne modifie pas le résultat :

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{k})=f(x_{1},\dots ,x_{i-1},x_{j},x_{i+1},\dots ,x_{j-1},x_{i},x_{j+1},\dots ,x_{k})}$ ;

• antisymétrique si l'échange de deux vecteurs a pour effet de changer le résultat obtenu en son opposé :

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{k})=-f(x_{1},\dots ,x_{i-1},x_{j},x_{i+1},\dots ,x_{j-1},x_{i},x_{j+1},\dots ,x_{k})}$.

On peut effectuer plusieurs échanges de vecteurs successifs. On réalise ainsi une permutation des vecteurs, obtenue comme une succession de transpositions. À chaque étape, le résultat est non modifié si f est symétrique, et changé en son opposé si f est antisymétrique. Finalement, l'effet d'une permutation générale des vecteurs est de ne pas modifier le résultat si f est symétrique, et de multiplier par la signature de la permutation si f est antisymétrique. En résumé, ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{k}}$ désignant le groupe symétrique d'indice ${\displaystyle k}$ :

• si f est symétrique alors :

${\displaystyle \forall \sigma \in {\mathfrak {S}}_{k},\;f(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (k)})=f(x_{1},\dots ,x_{k})}$ ;

• si f est antisymétrique alors :

${\displaystyle \forall \sigma \in {\mathfrak {S}}_{k},\;f(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (k)})=\varepsilon (\sigma )f(x_{1},\dots ,x_{k})}$ où ${\displaystyle \varepsilon (\sigma )}$ est la signature de ${\displaystyle \sigma }$.

Les sous-ensembles correspondants de ${\displaystyle L_{k}(E;F)}$, notés respectivement ${\displaystyle S_{k}(E;F)}$ et ${\displaystyle A_{k}(E;F)}$, sont des sous-espaces vectoriels. Si la caractéristique du corps K est égale à 2, ils sont égaux.

Une application ${\displaystyle f\in L_{k}(E;F)}$ est dite alternée si elle s'annule à chaque fois qu'on l'évalue sur un k-uplet contenant deux vecteurs identiques :

${\displaystyle [\exists i\neq j,x_{i}=x_{j}]\Rightarrow f(x_{1},\dots ,x_{k})=0.}$

De façon équivalente, une application k-linéaire sur ${\displaystyle E^{k}}$ est alternée si elle s'annule sur tous les k-uplets liés. En particulier, si k est strictement supérieur à la dimension de E, alors la seule application k-linéaire alternée de ${\displaystyle E^{k}}$ dans F est l'application nulle.

Toute application multilinéaire alternée est antisymétrique.

Si la caractéristique du corps K est différente de 2, la réciproque est vérifiée : toute application multilinéaire antisymétrique est alternée[1].

Application k-linéaire alternée en dimension n>k

Reprenant le cas d'une application k-linéaire alternée en dimension n, on suppose cette fois que n > k (rappelons que si n < k, toute application k-linéaire alternée est nulle). Une partie seulement des résultats précédents peut être étendue. Il est toujours possible de supprimer les termes où figure deux fois le même vecteur ; il vient

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{k})=\sum _{(i_{1},\dots ,i_{k})\in J}\prod _{j=1}^{k}X_{i_{j},j}f(e_{i_{1}},\dots ,e_{i_{k}})}$

où J est l'ensemble des k-uplets ${\displaystyle (i_{1},...,i_{k})}$ avec chaque ${\displaystyle i_{j}}$ dans [|1,n|] et les ${\displaystyle i_{j}}$ tous distincts. De plus par antisymétrie, il est possible de réordonner les termes dans f de façon à ne conserver qu'une combinaison de termes de la forme

${\displaystyle f(e_{i_{1}},\dots ,e_{i_{k}})\qquad {\text{ avec }}1\leq i_{1}<i_{2}<\dots <i_{k-1}<i_{k}\leq n.}$

Le nombre de tels k-uplets réordonnés est le coefficient binomial ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$, et une forme k-linéaire alternée est caractérisée par la donnée de la valeur de f sur ces k-uplets. En définitive, le théorème précédent se généralise en :

Théorème — Si E est de dimension n, alors l'espace ${\displaystyle A_{k}(E;F)}$ des applications k-linéaires alternées de E^k dans F est isomorphe à

${\displaystyle F^{\tbinom {n}{k}}.}$

Plus précisément, la formule de décomposition peut être écrite en utilisant la notion de déterminant : chaque coefficient est un mineur de la matrice représentative de la famille des vecteurs ${\displaystyle x_{i}}$ dans la base des ${\displaystyle e_{j}}$.

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{k})=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\dots <i_{k-1}<i_{k}\leq n}{\begin{vmatrix}X_{i_{1};1}&X_{i_{1};2}&\dots &X_{i_{1};k}\\X_{i_{2};1}&X_{i_{2};2}&\dots &X_{i_{2};k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\X_{i_{k};1}&X_{i_{k};2}&\dots &X_{i_{k};k}\end{vmatrix}}f(e_{i_{1}},\dots ,e_{i_{k}}).}$