Formule sommatoire d'Abel

En mathématiques, la formule sommatoire d'Abel, nommée d'après son auteur Niels Henrik Abel, est une formule utilisée intensivement en théorie analytique des nombres. Elle sert à calculer des séries numériques.

Énoncé

Soient $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} ^{*}}$ une suite de nombres réels ou complexes et $\varphi$ une fonction réelle ou complexe de classe $C 1$ .

On pose

A(x)=\sum _{1\leq n\leq x}{a_{n}}.

Alors, pour tout réel $x$ ,

\sum _{1\leq n\leq x}a_{n}\varphi (n)=A(x)\varphi (x)-\int _{1}^{x}A(u)\varphi '(u)\,\mathrm {d} u

.

Démonstration

Il s'agit d'une intégration par parties dans une intégrale de Stieltjes, mais ce cas particulier peut se démontrer directement.

La fonction $A$ est nulle sur $]-\infty, 1[$ donc si $x < 1$ , l'équation se résume à 0 = 0.

Supposons désormais $x \geq 1$ et notons $N \geq 1$ sa partie entière (donc $A (x) = A (N)$ ). La formule de sommation par parties donne :

{\begin{aligned}\sum _{1\leq n\leq x}{a_{n}\varphi (n)}-A(x)\varphi (x)&=A(N)\varphi (N)-\sum _{n=1}^{N-1}A(n){\big (}\varphi (n+1)-\varphi (n){\big )}-A(x)\varphi (x)\\&=-\sum _{n=1}^{N-1}A(n){\big (}\varphi (n+1)-\varphi (n)){\big )}-A(N){\big (}\varphi (x)-\varphi (N){\big )}\\&=-\sum _{n=1}^{N-1}\int _{n}^{n+1}A(u)\varphi '(u)\mathrm {d} u-\int _{N}^{x}A(u)\varphi '(u)\,\mathrm {d} u\\&=-\int _{1}^{x}A(u)\varphi '(u)\mathrm {d} u.\end{aligned}}

Exemples

Constante d'Euler-Mascheroni

Pour $a_{n}=1$ et $\varphi (u)=1/u$ , en notant $\lfloor x\rfloor$ la partie entière de $x$ , on trouve (pour tout réel $x$ ≥ 1, ou même $x$ > 0) :

\sum _{1\leq n\leq x}{\frac {1}{n}}={\frac {\lfloor x\rfloor }{x}}+\int _{1}^{x}{{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{2}}}\mathrm {d} u}

dont on déduit une expression intégrale de la constante d'Euler-Mascheroni :

\gamma =1-\int _{1}^{\infty }\ {\frac {x-E(x)}{x^{2}}}\,{\rm {d}}x

(où $E$ est la fonction partie entière).

Séries de Dirichlet

Pour toute série de Dirichlet classique

f(s)=\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}

,

la formule sommatoire d'Abel, appliquée à $\varphi (u)=u^{-s}$ , montre que pour tout nombre complexe s de partie réelle strictement supérieure à 0 et à l'abscisse de convergence de la série[1] :

f(s)=s\int _{1}^{\infty }{\frac {A(u)}{u^{1+s}}}\mathrm {d} u

.

Ci-dessous, deux exemples. On en trouvera un autre dans l'article « Fonction de von Mangoldt ».

Fonction zêta de Riemann

Pour $a_{n}=1$ on obtient :

\sum _{1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{1+s}}}\,\mathrm {d} u

.

Cette formule est valable pour $Re$ (s) > 1. On en déduit notamment le théorème de Dirichlet selon lequel la fonction zêta de Riemann $ζ$ (s) admet un pôle simple de résidu 1 en s = 1.

Inverse de la fonction zêta de Riemann

Pour $a_{n}=\mu (n)$ (la fonction de Möbius) :

\sum _{1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }{{\frac {M(u)}{u^{1+s}}}\,\mathrm {d} u}

.

Cette formule est valable pour $Re$ (s) > 1. Le symbole $M$ désigne la fonction de Mertens, définie par

M(u)=\sum _{1\leq n\leq u}{\mu (n)}

.

Note

C'est un cas particulier d'une propriété des séries de Dirichlet générales qui se démontre de la même façon.

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[1] C'est un cas particulier d'une propriété des séries de Dirichlet générales qui se démontre de la même façon.