Graphe de Kneser

En théorie des graphes, les graphes de Kneser forment une famille infinie de graphes. Le graphe de Kneser KG_n,k est un graphe simple dont les sommets correspondent aux sous-ensembles à k éléments d'un ensemble à n éléments. Deux sommets sont reliés s'ils correspondent à des sous-ensembles disjoints. Son ordre est donc égal $C_{n}^{k}$ , le nombre de combinaison de k parmi n, et il est régulier de degré $C_{n-k}^{k}$ .

Graphe de Kneser
Le graphe de Kneser KG_5,2, isomorphe au graphe de Petersen

Notation	KG_n,k
Nombre de sommets	$C_{n}^{k}$
Distribution des degrés	régulier de degré $C_{n-k}^{k}$
Diamètre	$\left\lceil {\frac {k-1}{n-2k}}\right\rceil +1$
Nombre chromatique	n-2k+2

Histoire

En 1955, le mathématicien Martin Kneser se pose la question suivante : « Si on considère la famille des k-sous-ensembles d'un ensemble de cardinal n, on peut partitionner cette famille en n-2k+2 classes de telle façon qu'aucune paire de k-sous-ensembles dans une classe donnée ne soit disjointe. Est-il possible de partitionner la famille considérée en n-2k+1 classes avec la même propriété ? » Kneser conjecture que ce n'est pas possible et le publie sous forme d'un exercice[1].

En 1978 László Lovász étudie la conjecture de Kneser comme un problème de théorie des graphes[2]. Il introduit les graphes de Kneser puis démontre que le nombre chromatique du graphe KG_n,k est égal à n-2k+2, ce qui prouve la conjecture de Kneser[3]. L'approche topologique pour résoudre un problème combinatoire est très novatrice et engendre un nouveau domaine : la combinatoire topologique[4].

Propriétés

Le diamètre d'un graphe de Kneser connexe KG_{n, k}, l'excentricité maximale de ses sommets, est égal à[5] :

\left\lceil {\frac {k-1}{n-2k}}\right\rceil +1

Quand $n\geq 3k$ , le graphe de Kneser KG_{n, k} est hamiltonien[6]. Il est actuellement conjecturé que tous les graphes de Kneser connexes sont hamiltoniens sauf KG_5,2, le graphe de Petersen. Une recherche exhaustive sur ordinateur a révélé que cette conjecture était vraie pour $n\leq 27$ [7]^,[8].

Quand $n<3k$ , le graphe de Kneser est un graphe sans triangle. Plus généralement, bien que le graphe de Kneser contienne toujours un cycle de longueur 4 quand $n\geq 2k+2$ , pour des valeurs de $n$ proche de $2k$ , la longueur du cycle impair le plus court dans le graphe de Kneser est variable[9].

Cas particuliers

Le graphe de Petersen est isomorphe au graphe KG_5,2.
Le graphe complet K_n est isomorphe au graphe KG_n,1.
En 1980, Hall prouve qu'il existe exactement 3 graphes étant localement le graphe de Petersen[10]. Il s'agit du graphe de Conway-Smith, du graphe de Hall et du graphe de Kneser KG_7,2.

Notes et références

(en) M. Kneser, « Aufgabe 360 », Jahresber. DMV, vol. 58,‎ 1956 (lire en ligne)
(en) L. Lovász, « Kneser's Conjecture, Chromatic Numbers and Homotopy », J. Comb. Th. A, vol. 25,‎ 1978, p. 319-324
Imre Bárány et Joshua Greene (lauréat 2003 du prix Morgan) ont simplifié la preuve en 2002 : cf. Martin Aigner et Günter M. Ziegler, Raisonnements divins.
(en) Mark de Longueville, « 25 years proof of the Kneser conjecture: The advent of topological combinatorics », EMS Newsletter, Southampton, Hampshire,‎ 2004, p. 16-19 (lire en ligne)
(en) Valencia-Pabon, Mario; Vera, Juan-Carlos, « On the diameter of Kneser graphs », Discrete Mathematics, vol. 305, n^os 1–3,‎ 2005, p. 383–385 (DOI 10.1016/j.disc.2005.10.001)
(en) Chen, Ya-Chen, « Kneser graphs are Hamiltonian for n ≥ 3k », Journal of Combinatorial Theory, Series B, vol. 80,‎ 2000, p. 69–79 (DOI 10.1006/jctb.2000.1969, lire en ligne)
(en) Shields, Ian Beaumont, Hamilton Cycle Heuristics in Hard Graphs, Ph.D. thesis, North Carolina State University, 2004 (lire en ligne)
Shields, I. and Savage, C. D. "A Note on Hamilton Cycles in Kneser Graphs." Bull. Inst. Combin. Appl. 40, 13-22, 2004
(en) Denley, Tristan, « The odd girth of the generalised Kneser graph », European Journal of Combinatorics, vol. 18, n^o 6,‎ 1997, p. 607–611 (DOI 10.1006/eujc.1996.0122)
Hall, J. I. "Locally Petersen Graphs." J. Graph Th. 4, 173-187, 1980.

Liens externes

(en) Eric W. Weisstein, Kneser Graph (MathWorld)
(en) Mitch Keller, Kneser Graphs (PlanetMath)

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[1] (en) M. Kneser, « Aufgabe 360 », Jahresber. DMV, vol. 58,‎ 1956 (lire en ligne)

[2] (en) L. Lovász, « Kneser's Conjecture, Chromatic Numbers and Homotopy », J. Comb. Th. A, vol. 25,‎ 1978, p. 319-324

[3] Imre Bárány et Joshua Greene (lauréat 2003 du prix Morgan) ont simplifié la preuve en 2002 : cf. Martin Aigner et Günter M. Ziegler, Raisonnements divins.

[4] (en) Mark de Longueville, « 25 years proof of the Kneser conjecture: The advent of topological combinatorics », EMS Newsletter, Southampton, Hampshire,‎ 2004, p. 16-19 (lire en ligne)

[5] (en) Valencia-Pabon, Mario; Vera, Juan-Carlos, « On the diameter of Kneser graphs », Discrete Mathematics, vol. 305, n^os 1–3,‎ 2005, p. 383–385 (DOI 10.1016/j.disc.2005.10.001)

[6] (en) Chen, Ya-Chen, « Kneser graphs are Hamiltonian for n ≥ 3k », Journal of Combinatorial Theory, Series B, vol. 80,‎ 2000, p. 69–79 (DOI 10.1006/jctb.2000.1969, lire en ligne)

[7] (en) Shields, Ian Beaumont, Hamilton Cycle Heuristics in Hard Graphs, Ph.D. thesis, North Carolina State University, 2004 (lire en ligne)

[8] Shields, I. and Savage, C. D. "A Note on Hamilton Cycles in Kneser Graphs." Bull. Inst. Combin. Appl. 40, 13-22, 2004

[9] (en) Denley, Tristan, « The odd girth of the generalised Kneser graph », European Journal of Combinatorics, vol. 18, n^o 6,‎ 1997, p. 607–611 (DOI 10.1006/eujc.1996.0122)

[10] Hall, J. I. "Locally Petersen Graphs." J. Graph Th. 4, 173-187, 1980.